Номер 77, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Решите уравнение:

1) $ \sqrt[3]{x} = \frac{2}{3}; $

2) $ \sqrt[4]{x} - 5 = 0; $

3) $ \sqrt[4]{x} + 2 = 0; $

4) $ \frac{1}{3}\sqrt[4]{x} - 2 = 0; $

5) $ \sqrt[5]{4x+2} = 0; $

6) $ \sqrt[5]{4x+2} = 3. $

1) Дано уравнение $\sqrt[3]{x} = \frac{2}{3}$.

Чтобы найти $x$, необходимо возвести обе части уравнения в третью степень, так как корень третьей степени. Для корней нечетной степени область допустимых значений $x$ не ограничена.

$(\sqrt[3]{x})^3 = (\frac{2}{3})^3$

$x = \frac{2^3}{3^3}$

$x = \frac{8}{27}$

Ответ: $\frac{8}{27}$.

2) Дано уравнение $\sqrt[4]{x} - 5 = 0$.

Сначала изолируем радикал (корень), перенеся 5 в правую часть:

$\sqrt[4]{x} = 5$

Так как корень четной степени (четвертой), подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), и результат извлечения корня также должен быть неотрицательным. В данном случае $5 > 0$, так что решение существует. Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x})^4 = 5^4$

$x = 625$

Полученное значение удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: $625$.

3) Дано уравнение $\sqrt[4]{x} + 2 = 0$.

Изолируем радикал, перенеся 2 в правую часть:

$\sqrt[4]{x} = -2$

Арифметический корень четной степени (в данном случае, четвертой) по определению является неотрицательным числом. То есть, для любого $x$ из области определения ($x \ge 0$), значение $\sqrt[4]{x}$ всегда будет больше или равно нулю ($\sqrt[4]{x} \ge 0$).

Таким образом, левая часть уравнения неотрицательна, а правая часть отрицательна. Равенство невозможно.

Ответ: решений нет.

4) Дано уравнение $\frac{1}{3}\sqrt[4]{x} - 2 = 0$.

Сначала изолируем радикал:

$\frac{1}{3}\sqrt[4]{x} = 2$

Умножим обе части на 3:

$\sqrt[4]{x} = 6$

Корень четной степени, правая часть положительна, значит, решение существует. Возведем обе части в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x})^4 = 6^4$

$x = 1296$

Ответ: $1296$.

5) Дано уравнение $\sqrt[5]{4x + 2} = 0$.

Корень нечетной степени, поэтому никаких ограничений на подкоренное выражение нет. Возведем обе части уравнения в пятую степень:

$(\sqrt[5]{4x + 2})^5 = 0^5$

$4x + 2 = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$4x = -2$

$x = -\frac{2}{4}$

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-0,5$.

6) Дано уравнение $\sqrt[5]{4x + 2} = 3$.

Корень нечетной степени, поэтому можем сразу возвести обе части уравнения в пятую степень:

$(\sqrt[5]{4x + 2})^5 = 3^5$

$4x + 2 = 243$

Решим полученное линейное уравнение:

$4x = 243 - 2$

$4x = 241$

$x = \frac{241}{4}$

$x = 60,25$

Ответ: $\frac{241}{4}$.