Номер 75, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

75. Сравните:

1) $ \sqrt[3]{2,8} $ и $ \sqrt[3]{2,4} $;

2) $ \sqrt[7]{-12} $ и $ \sqrt[7]{-16} $;

3) $ 3 $ и $ \sqrt[4]{82} $;

4) $ \sqrt[3]{6} $ и $ \sqrt[6]{34} $;

5) $ 2\sqrt[3]{5} $ и $ 3\sqrt[3]{2} $.

1) Чтобы сравнить два корня одной и той же степени, достаточно сравнить их подкоренные выражения. Функция $y = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей на всей числовой оси, поэтому чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня.
Сравниваем подкоренные выражения: $2,8$ и $2,4$.
Поскольку $2,8 > 2,4$, то и $\sqrt[3]{2,8} > \sqrt[3]{2,4}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2,8} > \sqrt[3]{2,4}$.

2) Показатель корня (7) — нечетное число. Функция $y = \sqrt[7]{x}$ является возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.
Сравниваем подкоренные выражения: $-12$ и $-16$.
Так как $-12 > -16$, то и $\sqrt[7]{-12} > \sqrt[7]{-16}$.
Ответ: $\sqrt[7]{-12} > \sqrt[7]{-16}$.

3) Для сравнения числа $3$ и $\sqrt[4]{82}$, представим число $3$ в виде корня четвертой степени. Для этого возведем $3$ в четвертую степень и запишем результат под знак корня четвертой степени.
$3 = \sqrt[4]{3^4} = \sqrt[4]{81}$.
Теперь сравним $\sqrt[4]{81}$ и $\sqrt[4]{82}$. Функция $y = \sqrt[4]{x}$ является возрастающей для неотрицательных $x$.
Так как $81 < 82$, то $\sqrt[4]{81} < \sqrt[4]{82}$.
Следовательно, $3 < \sqrt[4]{82}$.
Ответ: $3 < \sqrt[4]{82}$.

4) Чтобы сравнить корни с разными показателями, приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей $3$ и $6$ равно $6$.
Приведем корень $\sqrt[3]{6}$ к показателю $6$:
$\sqrt[3]{6} = \sqrt[3 \cdot 2]{6^2} = \sqrt[6]{36}$.
Теперь сравним $\sqrt[6]{36}$ и $\sqrt[6]{34}$.
Поскольку функция корня четной степени возрастает для неотрицательных чисел, сравним подкоренные выражения: $36 > 34$.
Следовательно, $\sqrt[6]{36} > \sqrt[6]{34}$, а значит $\sqrt[3]{6} > \sqrt[6]{34}$.
Ответ: $\sqrt[3]{6} > \sqrt[6]{34}$.

5) Для сравнения выражений $2\sqrt[3]{5}$ и $3\sqrt[3]{2}$, внесем множители перед корнем под знак корня.
Для первого выражения: $2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}$.
Для второго выражения: $3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{54}$.
Теперь сравним $\sqrt[3]{40}$ и $\sqrt[3]{54}$.
Так как функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастающая, сравним подкоренные выражения: $40 < 54$.
Следовательно, $\sqrt[3]{40} < \sqrt[3]{54}$, а это значит, что $2\sqrt[3]{5} < 3\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{5} < 3\sqrt[3]{2}$.