Номер 78, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

78. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $\sqrt[3]{42}$;

2) $\sqrt[4]{300}$;

3) $-\sqrt[3]{250}$?

1) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt[3]{42}$, найдем два последовательных целых числа, кубы которых "ограничивают" число 42.

Рассмотрим кубы последовательных целых чисел:

$3^3 = 27$

$4^3 = 64$

Так как $27 < 42 < 64$, то можно записать неравенство:

$3^3 < 42 < 4^3$

Извлекая кубический корень из всех частей неравенства, получаем:

$\sqrt[3]{3^3} < \sqrt[3]{42} < \sqrt[3]{4^3}$

$3 < \sqrt[3]{42} < 4$

Следовательно, число $\sqrt[3]{42}$ находится между числами 3 и 4.

Ответ: между 3 и 4.

2) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt[4]{300}$, найдем два последовательных целых числа, четвертые степени которых "ограничивают" число 300.

Рассмотрим четвертые степени последовательных целых чисел:

$4^4 = 256$

$5^4 = 625$

Так как $256 < 300 < 625$, то можно записать неравенство:

$4^4 < 300 < 5^4$

Извлекая корень четвертой степени из всех частей неравенства, получаем:

$\sqrt[4]{4^4} < \sqrt[4]{300} < \sqrt[4]{5^4}$

$4 < \sqrt[4]{300} < 5$

Следовательно, число $\sqrt[4]{300}$ находится между числами 4 и 5.

Ответ: между 4 и 5.

3) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $-\sqrt[3]{250}$, сначала найдем, между какими целыми числами находится положительное число $\sqrt[3]{250}$. Для этого найдем два последовательных целых числа, кубы которых "ограничивают" число 250.

Рассмотрим кубы последовательных целых чисел:

$6^3 = 216$

$7^3 = 343$

Так как $216 < 250 < 343$, то можно записать неравенство:

$6^3 < 250 < 7^3$

Извлекая кубический корень из всех частей неравенства, получаем:

$\sqrt[3]{6^3} < \sqrt[3]{250} < \sqrt[3]{7^3}$

$6 < \sqrt[3]{250} < 7$

Теперь умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-6 > -\sqrt[3]{250} > -7$

Запишем это неравенство в привычном порядке (от меньшего к большему):

$-7 < -\sqrt[3]{250} < -6$

Следовательно, число $-\sqrt[3]{250}$ находится между числами -7 и -6.

Ответ: между -7 и -6.