Номер 79, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

79. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами:

1) 2 и $\sqrt[3]{130}$;

2) $\sqrt[5]{-40}$ и $\sqrt[4]{650}$.

1)

Чтобы найти все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами 2 и $\sqrt[3]{130}$, необходимо сначала оценить значение $\sqrt[3]{130}$.

Для этого найдем два ближайших к 130 числа, которые являются кубами целых чисел.
$5^3 = 125$
$6^3 = 216$

Поскольку $125 < 130 < 216$, мы можем записать следующее неравенство для корней:
$\sqrt[3]{125} < \sqrt[3]{130} < \sqrt[3]{216}$
Это означает, что $5 < \sqrt[3]{130} < 6$.

Теперь нам нужно найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют условию $2 < x < \sqrt[3]{130}$.
Так как мы установили, что $\sqrt[3]{130}$ является числом между 5 и 6, то искомые целые числа должны быть больше 2 и меньше числа, которое больше 5.
Следовательно, это числа 3, 4 и 5.

Ответ: 3, 4, 5.

2)

Чтобы найти все целые числа между $\sqrt[5]{-40}$ и $\sqrt[4]{650}$, оценим значение каждого из этих чисел по отдельности.

Сначала оценим $\sqrt[5]{-40}$.
Поскольку корень нечетной степени, $\sqrt[5]{-40} = -\sqrt[5]{40}$.
Найдем два ближайших к 40 числа, которые являются пятыми степенями целых чисел.
$2^5 = 32$
$3^5 = 243$
Из неравенства $32 < 40 < 243$ следует, что $2 < \sqrt[5]{40} < 3$.
Умножив все части неравенства на -1, получаем: $-3 < -\sqrt[5]{40} < -2$.
Таким образом, $\sqrt[5]{-40}$ — это число, расположенное между -3 и -2.

Теперь оценим $\sqrt[4]{650}$.
Найдем два ближайших к 650 числа, которые являются четвертыми степенями целых чисел.
$5^4 = 625$
$6^4 = 1296$
Из неравенства $625 < 650 < 1296$ следует, что $\sqrt[4]{625} < \sqrt[4]{650} < \sqrt[4]{1296}$.
Это означает, что $5 < \sqrt[4]{650} < 6$.

Нам нужно найти все целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $\sqrt[5]{-40} < x < \sqrt[4]{650}$.
Подставляя наши оценки, получаем, что искомые целые числа находятся в интервале от числа между -3 и -2 до числа между 5 и 6.
Этому условию удовлетворяют целые числа: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.