Номер 76, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. Решите уравнение:

1) $x^7 = -10;$

2) $x^4 = \frac{1}{81};$

3) $x^4 = -625;$

4) $(x - 5)^4 = 256;$

5) $5x^8 - 95 = 0;$

6) $(x^2 - 6x)^3 = -125.$

1) Дано уравнение $x^7 = -10$.

Так как показатель степени $n=7$ является нечетным числом, уравнение вида $x^n = a$ имеет единственный действительный корень, который равен $x = \sqrt[n]{a}$.

Извлечем корень седьмой степени из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[7]{-10}$

Корень нечетной степени из отрицательного числа можно записать, вынеся знак минус за пределы корня:

$x = -\sqrt[7]{10}$

Ответ: $-\sqrt[7]{10}$.

2) Дано уравнение $x^4 = \frac{1}{81}$.

Так как показатель степени $n=4$ является четным числом, а правая часть уравнения $\frac{1}{81} > 0$, уравнение вида $x^n = a$ имеет два действительных корня, которые равны $x = \pm\sqrt[n]{a}$.

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$

Вычислим значение корня. Поскольку $3^4 = 81$, то $\sqrt[4]{81} = 3$. Следовательно:

$x = \pm\frac{1}{3}$

Ответ: $\pm\frac{1}{3}$.

3) Дано уравнение $x^4 = -625$.

Левая часть уравнения, $x^4$, представляет собой действительное число, возведенное в четную степень. Значение этого выражения всегда неотрицательно, то есть $x^4 \ge 0$ для любого действительного числа $x$.

Правая часть уравнения, $-625$, является отрицательным числом.

Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

4) Дано уравнение $(x-5)^4 = 256$.

Показатель степени $n=4$ является четным, а правая часть $256 > 0$. Следовательно, основание степени может быть равно как положительному, так и отрицательному корню из $256$.

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения:

$x-5 = \pm\sqrt[4]{256}$

Вычислим значение корня: $\sqrt[4]{256} = 4$, так как $4^4 = 256$.

Таким образом, получаем совокупность из двух линейных уравнений:

1) $x-5 = 4 \implies x = 4 + 5 \implies x_1 = 9$

2) $x-5 = -4 \implies x = -4 + 5 \implies x_2 = 1$

Ответ: $1; 9$.

5) Дано уравнение $5x^8 - 95 = 0$.

Для решения необходимо сначала выразить $x^8$.

Перенесем $-95$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$5x^8 = 95$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x^8 = \frac{95}{5}$

$x^8 = 19$

Получили уравнение, в котором показатель степени $n=8$ — четное число, а правая часть $19 > 0$. Уравнение имеет два действительных корня.

Извлечем корень восьмой степени из обеих частей:

$x = \pm\sqrt[8]{19}$

Ответ: $\pm\sqrt[8]{19}$.

6) Дано уравнение $(x^2 - 6x)^3 = -125$.

Показатель степени $n=3$ является нечетным числом, поэтому уравнение имеет единственное решение относительно выражения в скобках.

Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x^2 - 6x = \sqrt[3]{-125}$

Вычислим значение корня: $\sqrt[3]{-125} = -5$, так как $(-5)^3 = -125$.

В результате получаем квадратное уравнение:

$x^2 - 6x = -5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение в стандартном виде $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4}{2}$

$x_1 = \frac{6+4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{6-4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $1; 5$.