Номер 81, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

81. Решите уравнение:

1) $(x^2 - 9)\sqrt[6]{x+2} = 0;$

2) $(x - 4)\sqrt[14]{x^2 - 10x + 9} = 0;$

3) $(|x| - 5)\sqrt[20]{4 - x} = 0.$

1) $(x^2 - 9)\sqrt[6]{x+2} = 0$

Данное уравнение эквивалентно системе, в которой мы приравниваем каждый множитель к нулю и учитываем область допустимых значений (ОДЗ) для корня четной степени.

1. Найдем ОДЗ. Так как корень имеет четную степень (6), подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x + 2 \ge 0$

$x \ge -2$

2. Решим уравнение. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x^2 - 9 = 0$ или $\sqrt[6]{x+2} = 0$.

Из первого уравнения получаем:

$x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -3$.

Из второго уравнения получаем:

$x+2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$.

3. Проверим, какие из найденных корней удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -2$):

• $x_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \ge -2$).
• $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию ($-3 < -2$).
• $x_3 = -2$ удовлетворяет условию ($-2 \ge -2$).

Таким образом, решениями уравнения являются $x = -2$ и $x = 3$.

Ответ: -2; 3.

2) $(x - 4)\sqrt[14]{x^2 - 10x + 9} = 0$

Аналогично первому пункту, найдем ОДЗ и решим уравнение.

1. ОДЗ для корня четной степени (14):

$x^2 - 10x + 9 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 10x + 9 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 10x + 9$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [9, \infty)$.

2. Решим уравнение, приравнивая множители к нулю:

$x - 4 = 0$ или $\sqrt[14]{x^2 - 10x + 9} = 0$.

Из первого уравнения: $x_1 = 4$.

Из второго уравнения: $x^2 - 10x + 9 = 0 \Rightarrow x_2 = 1, x_3 = 9$.

3. Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x \in (-\infty, 1] \cup [9, \infty)$):

• $x_1 = 4$ не принадлежит ОДЗ.
• $x_2 = 1$ принадлежит ОДЗ.
• $x_3 = 9$ принадлежит ОДЗ.

Следовательно, решениями являются $x = 1$ и $x = 9$.

Ответ: 1; 9.

3) $(|x| - 5)\sqrt[20]{4 - x} = 0$

Решаем по той же схеме.

1. Найдем ОДЗ для корня 20-й степени:

$4 - x \ge 0$

$x \le 4$

2. Приравняем множители к нулю:

$|x| - 5 = 0$ или $\sqrt[20]{4 - x} = 0$.

Из первого уравнения:

$|x| = 5 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -5$.

Из второго уравнения:

$4 - x = 0 \Rightarrow x_3 = 4$.

3. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \le 4$):

• $x_1 = 5$ не удовлетворяет условию ($5 > 4$).
• $x_2 = -5$ удовлетворяет условию ($-5 \le 4$).
• $x_3 = 4$ удовлетворяет условию ($4 \le 4$).

Таким образом, решениями уравнения являются $x = -5$ и $x = 4$.

Ответ: -5; 4.