Номер 85, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

85. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $(a+6)\sqrt[8]{x} = 0;$

2) $\sqrt[8]{a(x-2)} = 0;$

3) $\sqrt[4]{x} = a-7;$

4) $(a-10)\sqrt[8]{x} = a-10;$

5) $ax^{10} = 8;$

6) $x^7 = a-10.$

1) Данное уравнение имеет вид $A \cdot B = 0$, где $A = a+6$ и $B = \sqrt[8]{x}$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Область определения уравнения: $x \ge 0$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a + 6 = 0$, то есть $a = -6$. Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt[8]{x} = 0$, или $0 = 0$. Это равенство верно для любого $x$ из области определения, то есть для всех $x \ge 0$.
2. Если $a + 6 \neq 0$, то есть $a \neq -6$. Тогда на $a+6$ можно разделить обе части уравнения. Получим $\sqrt[8]{x} = 0$. Возведя обе части в 8-ю степень, находим $x = 0$. Это значение удовлетворяет области определения.
Ответ: если $a = -6$, то $x \in [0, +\infty)$; если $a \neq -6$, то $x=0$.

2) Область определения уравнения задается условием $a(x-2) \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в 8-ю степень, чтобы избавиться от радикала:
$(\sqrt[8]{a(x-2)})^8 = 0^8$
$a(x-2) = 0$
Рассмотрим два случая:
1. Если $a = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot (x-2) = 0$, или $0 = 0$. Это верное равенство для любого действительного числа $x$. Проверка области определения: $0 \cdot (x-2) \ge 0$, то есть $0 \ge 0$, что верно для любого $x$. Значит, решением является любое действительное число.
2. Если $a \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения $a(x-2) = 0$ на $a$. Получим $x-2 = 0$, откуда $x = 2$. Это значение удовлетворяет области определения при любом $a \neq 0$, так как $a(2-2) = 0 \ge 0$.
Ответ: если $a = 0$, то $x$ — любое действительное число; если $a \neq 0$, то $x=2$.

3) Область определения уравнения: $x \ge 0$.
Значение арифметического корня четной степени $\sqrt[4]{x}$ всегда неотрицательно, то есть $\sqrt[4]{x} \ge 0$.
Следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:
$a - 7 \ge 0$, что равносильно $a \ge 7$.
1. Если $a < 7$, то правая часть $a-7$ отрицательна, а левая $\sqrt[4]{x}$ неотрицательна. Равенство невозможно, поэтому уравнение не имеет решений.
2. Если $a \ge 7$, можно возвести обе части уравнения в 4-ю степень:
$(\sqrt[4]{x})^4 = (a-7)^4$
$x = (a-7)^4$.
Так как $(a-7)^4 \ge 0$, условие $x \ge 0$ выполнено.
Ответ: если $a < 7$, то корней нет; если $a \ge 7$, то $x = (a-7)^4$.

4) Область определения уравнения: $x \ge 0$.
Рассмотрим два случая в зависимости от значения выражения $a-10$.
1. Если $a - 10 = 0$, то есть $a = 10$. Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt[8]{x} = 0$, или $0=0$. Это равенство верно для всех $x$ из области определения, то есть при $x \ge 0$.
2. Если $a - 10 \neq 0$, то есть $a \neq 10$. Мы можем разделить обе части уравнения на $a-10$. Получаем $\sqrt[8]{x} = 1$. Возводим обе части в 8-ю степень: $x = 1^8$, откуда $x=1$. Это значение удовлетворяет области определения.
Ответ: если $a = 10$, то $x \in [0, +\infty)$; если $a \neq 10$, то $x=1$.

5) Рассмотрим различные случаи для параметра $a$.
1. Если $a = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x^{10} = 8$, или $0=8$. Это неверное равенство, следовательно, при $a=0$ решений нет.
2. Если $a \neq 0$. Выразим $x^{10}$: $x^{10} = \frac{8}{a}$.
Левая часть уравнения $x^{10}$ является четной степенью переменной, поэтому $x^{10} \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $\frac{8}{a} \ge 0$.
Поскольку числитель $8 > 0$, это неравенство выполняется только при $a > 0$.
- Если $a < 0$, то $\frac{8}{a} < 0$, и уравнение не имеет действительных решений.
- Если $a > 0$, то уравнение $x^{10} = \frac{8}{a}$ имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt[10]{\frac{8}{a}}$ и $x_2 = -\sqrt[10]{\frac{8}{a}}$.
Ответ: если $a \le 0$, то корней нет; если $a > 0$, то $x = \pm\sqrt[10]{\frac{8}{a}}$.

6) Уравнение $x^7 = a - 10$ представляет собой уравнение вида $x^n = b$, где степень $n=7$ — нечетное число.
Для любого действительного значения правой части $b = a - 10$ существует единственный действительный корень нечетной степени.
Извлекая корень 7-й степени из обеих частей уравнения, получаем:
$x = \sqrt[7]{a-10}$.
Это решение существует при любом значении параметра $a$.
Ответ: при любом значении $a$ корень $x = \sqrt[7]{a-10}$.