Номер 80, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

80. Решите уравнение:

1) $x^6 - 26x^3 - 27 = 0;$

2) $x^8 - 19x^4 + 18 = 0;$

3) $x^{12} + x^6 - 6 = 0.$

1) $x^6 - 26x^3 - 27 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно $x^3$. Его можно переписать в виде: $(x^3)^2 - 26(x^3) - 27 = 0$.

Введем новую переменную. Пусть $y = x^3$. Тогда уравнение примет вид стандартного квадратного уравнения:

$y^2 - 26y - 27 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета:

• Сумма корней: $y_1 + y_2 = 26$
• Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = -27$

Подбором находим корни: $y_1 = 27$ и $y_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

Для первого корня $y_1 = 27$:

$x^3 = 27$

$x = \sqrt[3]{27}$

$x = 3$

Для второго корня $y_2 = -1$:

$x^3 = -1$

$x = \sqrt[3]{-1}$

$x = -1$

Ответ: $x = 3, x = -1$.

2) $x^8 - 19x^4 + 18 = 0$

Это уравнение можно решить аналогичным способом, сделав замену. Заметим, что $x^8 = (x^4)^2$.

Пусть $y = x^4$. Тогда уравнение преобразуется в квадратное:

$y^2 - 19y + 18 = 0$

Снова воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $y_1 + y_2 = 19$
• Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = 18$

Легко видеть, что корнями являются $y_1 = 18$ и $y_2 = 1$.

Так как $y = x^4$, значение $y$ должно быть неотрицательным ($y \geq 0$). Оба наших корня удовлетворяют этому условию.

Выполним обратную замену.

Для $y_1 = 18$:

$x^4 = 18$

$x = \pm \sqrt[4]{18}$

Для $y_2 = 1$:

$x^4 = 1$

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

$x = \pm 1$

Ответ: $x = \pm 1, x = \pm \sqrt[4]{18}$.

3) $x^{12} + x^6 - 6 = 0$

Это уравнение также решается методом замены переменной. Заметим, что $x^{12} = (x^6)^2$.

Пусть $y = x^6$. Подставим в уравнение:

$y^2 + y - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Теперь найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$

Выполним обратную замену. Вспомним, что $y = x^6$. Так как $x^6$ — это четная степень, то $x^6 \geq 0$ для любого действительного $x$.

Рассмотрим первый корень $y_1 = 2$:

$x^6 = 2$

$x = \pm \sqrt[6]{2}$

Рассмотрим второй корень $y_2 = -3$:

$x^6 = -3$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как четная степень действительного числа не может быть отрицательной.

Ответ: $x = \pm \sqrt[6]{2}$.