Страница 120 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Найдите область значений функции:

1) $y = \sqrt[4]{x} + 15;$

2) $y = -\sqrt[6]{x} - 1;$

3) $y = \sqrt[5]{x} - 7.$

1) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{x} + 15$. Выражение $\sqrt[4]{x}$ представляет собой корень четной степени (четвертой). По определению, арифметический корень четной степени из неотрицательного числа есть число неотрицательное. Следовательно, область значений для $\sqrt[4]{x}$ есть промежуток $[0; +\infty)$. Запишем это в виде неравенства: $\sqrt[4]{x} \ge 0$. Чтобы найти область значений для всей функции $y$, прибавим 15 к обеим частям этого неравенства: $\sqrt[4]{x} + 15 \ge 0 + 15$ $y \ge 15$. Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные 15. Ответ: $[15; +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $y = -\sqrt[6]{x} - 1$. Выражение $\sqrt[6]{x}$ представляет собой корень четной степени. Его область значений — $[0; +\infty)$. Запишем это в виде неравенства: $\sqrt[6]{x} \ge 0$. Теперь рассмотрим преобразования. Сначала умножим неравенство на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-\sqrt[6]{x} \le 0 \cdot (-1)$ $-\sqrt[6]{x} \le 0$. Далее вычтем 1 из обеих частей: $-\sqrt[6]{x} - 1 \le 0 - 1$ $y \le -1$. Таким образом, область значений функции — это все числа, меньшие или равные -1. Ответ: $(-\infty; -1]$.

3) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[5]{x} - 7$. Выражение $\sqrt[5]{x}$ представляет собой корень нечетной степени. Корень нечетной степени может быть извлечен из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля), и его значением также может быть любое действительное число. Следовательно, область значений для $\sqrt[5]{x}$ — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$. Когда из выражения, которое может принимать любое действительное значение, вычитается константа (в данном случае 7), итоговое выражение также может принимать любое действительное значение. Значит, $y$ может принимать любые значения из $(-\infty; +\infty)$. Таким образом, область значений функции — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$. Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

73. Оцените значение выражения $\sqrt[3]{x}$, если:

1) $27 \le x \le 125$;

2) $-64 \le x \le 343$.

1)

Дано неравенство $27 \le x \le 125$.

Функция $y = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что для любых чисел $a$ и $b$ из неравенства $a \le b$ следует неравенство $\sqrt[3]{a} \le \sqrt[3]{b}$.

Применим операцию извлечения кубического корня ко всем частям данного двойного неравенства, сохранив знаки неравенства:

$\sqrt[3]{27} \le \sqrt[3]{x} \le \sqrt[3]{125}$

Вычислим значения кубических корней из крайних членов неравенства:

$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.

$\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.

Подставив вычисленные значения, получим искомую оценку для выражения:

$3 \le \sqrt[3]{x} \le 5$

Ответ: $3 \le \sqrt[3]{x} \le 5$.

2)

Дано неравенство $-64 \le x \le 343$.

Аналогично первому пункту, воспользуемся свойством монотонного возрастания функции кубического корня $y = \sqrt[3]{x}$. Извлечем кубический корень из всех частей неравенства.

$\sqrt[3]{-64} \le \sqrt[3]{x} \le \sqrt[3]{343}$

Вычислим значения кубических корней из границ заданного диапазона:

$\sqrt[3]{-64} = -4$, так как $(-4)^3 = -64$.

$\sqrt[3]{343} = 7$, так как $7^3 = 343$.

Таким образом, получаем оценку для значения выражения $\sqrt[3]{x}$:

$-4 \le \sqrt[3]{x} \le 7$

Ответ: $-4 \le \sqrt[3]{x} \le 7$.

74. Оцените значение x, если:

1) $6 \leq \sqrt[3]{x} \leq 10$;

2) $3 < \sqrt[4]{x} < 4$.

1) Дано двойное неравенство $6 \le \sqrt[3]{x} \le 10$.

Чтобы найти диапазон значений для x, необходимо избавиться от кубического корня. Для этого возведем все три части неравенства в третью степень. Так как функция $y=z^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, знаки неравенства при этом сохраняются.

$6^3 \le (\sqrt[3]{x})^3 \le 10^3$

Вычислим значения в левой и правой частях:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$

$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$

Подставив вычисленные значения, получим итоговое неравенство для x:

$216 \le x \le 1000$

Ответ: $216 \le x \le 1000$

2) Дано двойное неравенство $3 < \sqrt[4]{x} < 4$.

Чтобы найти диапазон значений для x, необходимо избавиться от корня четвертой степени. Для этого возведем все три части неравенства в четвертую степень. Функция $y=z^4$ является монотонно возрастающей для неотрицательных значений. Поскольку все части данного неравенства (3, $\sqrt[4]{x}$ и 4) положительны, знаки неравенства сохраняются.

$3^4 < (\sqrt[4]{x})^4 < 4^4$

Вычислим значения в левой и правой частях:

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$

$4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 = 256$

Подставив вычисленные значения, получим итоговое неравенство для x:

$81 < x < 256$

Ответ: $81 < x < 256$

75. Сравните:

1) $ \sqrt[3]{2,8} $ и $ \sqrt[3]{2,4} $;

2) $ \sqrt[7]{-12} $ и $ \sqrt[7]{-16} $;

3) $ 3 $ и $ \sqrt[4]{82} $;

4) $ \sqrt[3]{6} $ и $ \sqrt[6]{34} $;

5) $ 2\sqrt[3]{5} $ и $ 3\sqrt[3]{2} $.

1) Чтобы сравнить два корня одной и той же степени, достаточно сравнить их подкоренные выражения. Функция $y = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей на всей числовой оси, поэтому чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня.
Сравниваем подкоренные выражения: $2,8$ и $2,4$.
Поскольку $2,8 > 2,4$, то и $\sqrt[3]{2,8} > \sqrt[3]{2,4}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2,8} > \sqrt[3]{2,4}$.

2) Показатель корня (7) — нечетное число. Функция $y = \sqrt[7]{x}$ является возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.
Сравниваем подкоренные выражения: $-12$ и $-16$.
Так как $-12 > -16$, то и $\sqrt[7]{-12} > \sqrt[7]{-16}$.
Ответ: $\sqrt[7]{-12} > \sqrt[7]{-16}$.

3) Для сравнения числа $3$ и $\sqrt[4]{82}$, представим число $3$ в виде корня четвертой степени. Для этого возведем $3$ в четвертую степень и запишем результат под знак корня четвертой степени.
$3 = \sqrt[4]{3^4} = \sqrt[4]{81}$.
Теперь сравним $\sqrt[4]{81}$ и $\sqrt[4]{82}$. Функция $y = \sqrt[4]{x}$ является возрастающей для неотрицательных $x$.
Так как $81 < 82$, то $\sqrt[4]{81} < \sqrt[4]{82}$.
Следовательно, $3 < \sqrt[4]{82}$.
Ответ: $3 < \sqrt[4]{82}$.

4) Чтобы сравнить корни с разными показателями, приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей $3$ и $6$ равно $6$.
Приведем корень $\sqrt[3]{6}$ к показателю $6$:
$\sqrt[3]{6} = \sqrt[3 \cdot 2]{6^2} = \sqrt[6]{36}$.
Теперь сравним $\sqrt[6]{36}$ и $\sqrt[6]{34}$.
Поскольку функция корня четной степени возрастает для неотрицательных чисел, сравним подкоренные выражения: $36 > 34$.
Следовательно, $\sqrt[6]{36} > \sqrt[6]{34}$, а значит $\sqrt[3]{6} > \sqrt[6]{34}$.
Ответ: $\sqrt[3]{6} > \sqrt[6]{34}$.

5) Для сравнения выражений $2\sqrt[3]{5}$ и $3\sqrt[3]{2}$, внесем множители перед корнем под знак корня.
Для первого выражения: $2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}$.
Для второго выражения: $3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{54}$.
Теперь сравним $\sqrt[3]{40}$ и $\sqrt[3]{54}$.
Так как функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастающая, сравним подкоренные выражения: $40 < 54$.
Следовательно, $\sqrt[3]{40} < \sqrt[3]{54}$, а это значит, что $2\sqrt[3]{5} < 3\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{5} < 3\sqrt[3]{2}$.

76. Решите уравнение:

1) $x^7 = -10;$

2) $x^4 = \frac{1}{81};$

3) $x^4 = -625;$

4) $(x - 5)^4 = 256;$

5) $5x^8 - 95 = 0;$

6) $(x^2 - 6x)^3 = -125.$

1) Дано уравнение $x^7 = -10$.

Так как показатель степени $n=7$ является нечетным числом, уравнение вида $x^n = a$ имеет единственный действительный корень, который равен $x = \sqrt[n]{a}$.

Извлечем корень седьмой степени из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[7]{-10}$

Корень нечетной степени из отрицательного числа можно записать, вынеся знак минус за пределы корня:

$x = -\sqrt[7]{10}$

Ответ: $-\sqrt[7]{10}$.

2) Дано уравнение $x^4 = \frac{1}{81}$.

Так как показатель степени $n=4$ является четным числом, а правая часть уравнения $\frac{1}{81} > 0$, уравнение вида $x^n = a$ имеет два действительных корня, которые равны $x = \pm\sqrt[n]{a}$.

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$

Вычислим значение корня. Поскольку $3^4 = 81$, то $\sqrt[4]{81} = 3$. Следовательно:

$x = \pm\frac{1}{3}$

Ответ: $\pm\frac{1}{3}$.

3) Дано уравнение $x^4 = -625$.

Левая часть уравнения, $x^4$, представляет собой действительное число, возведенное в четную степень. Значение этого выражения всегда неотрицательно, то есть $x^4 \ge 0$ для любого действительного числа $x$.

Правая часть уравнения, $-625$, является отрицательным числом.

Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

4) Дано уравнение $(x-5)^4 = 256$.

Показатель степени $n=4$ является четным, а правая часть $256 > 0$. Следовательно, основание степени может быть равно как положительному, так и отрицательному корню из $256$.

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения:

$x-5 = \pm\sqrt[4]{256}$

Вычислим значение корня: $\sqrt[4]{256} = 4$, так как $4^4 = 256$.

Таким образом, получаем совокупность из двух линейных уравнений:

1) $x-5 = 4 \implies x = 4 + 5 \implies x_1 = 9$

2) $x-5 = -4 \implies x = -4 + 5 \implies x_2 = 1$

Ответ: $1; 9$.

5) Дано уравнение $5x^8 - 95 = 0$.

Для решения необходимо сначала выразить $x^8$.

Перенесем $-95$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$5x^8 = 95$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x^8 = \frac{95}{5}$

$x^8 = 19$

Получили уравнение, в котором показатель степени $n=8$ — четное число, а правая часть $19 > 0$. Уравнение имеет два действительных корня.

Извлечем корень восьмой степени из обеих частей:

$x = \pm\sqrt[8]{19}$

Ответ: $\pm\sqrt[8]{19}$.

6) Дано уравнение $(x^2 - 6x)^3 = -125$.

Показатель степени $n=3$ является нечетным числом, поэтому уравнение имеет единственное решение относительно выражения в скобках.

Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x^2 - 6x = \sqrt[3]{-125}$

Вычислим значение корня: $\sqrt[3]{-125} = -5$, так как $(-5)^3 = -125$.

В результате получаем квадратное уравнение:

$x^2 - 6x = -5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение в стандартном виде $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4}{2}$

$x_1 = \frac{6+4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{6-4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $1; 5$.

77. Решите уравнение:

1) $ \sqrt[3]{x} = \frac{2}{3}; $

2) $ \sqrt[4]{x} - 5 = 0; $

3) $ \sqrt[4]{x} + 2 = 0; $

4) $ \frac{1}{3}\sqrt[4]{x} - 2 = 0; $

5) $ \sqrt[5]{4x+2} = 0; $

6) $ \sqrt[5]{4x+2} = 3. $

1) Дано уравнение $\sqrt[3]{x} = \frac{2}{3}$.

Чтобы найти $x$, необходимо возвести обе части уравнения в третью степень, так как корень третьей степени. Для корней нечетной степени область допустимых значений $x$ не ограничена.

$(\sqrt[3]{x})^3 = (\frac{2}{3})^3$

$x = \frac{2^3}{3^3}$

$x = \frac{8}{27}$

Ответ: $\frac{8}{27}$.

2) Дано уравнение $\sqrt[4]{x} - 5 = 0$.

Сначала изолируем радикал (корень), перенеся 5 в правую часть:

$\sqrt[4]{x} = 5$

Так как корень четной степени (четвертой), подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), и результат извлечения корня также должен быть неотрицательным. В данном случае $5 > 0$, так что решение существует. Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x})^4 = 5^4$

$x = 625$

Полученное значение удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: $625$.

3) Дано уравнение $\sqrt[4]{x} + 2 = 0$.

Изолируем радикал, перенеся 2 в правую часть:

$\sqrt[4]{x} = -2$

Арифметический корень четной степени (в данном случае, четвертой) по определению является неотрицательным числом. То есть, для любого $x$ из области определения ($x \ge 0$), значение $\sqrt[4]{x}$ всегда будет больше или равно нулю ($\sqrt[4]{x} \ge 0$).

Таким образом, левая часть уравнения неотрицательна, а правая часть отрицательна. Равенство невозможно.

Ответ: решений нет.

4) Дано уравнение $\frac{1}{3}\sqrt[4]{x} - 2 = 0$.

Сначала изолируем радикал:

$\frac{1}{3}\sqrt[4]{x} = 2$

Умножим обе части на 3:

$\sqrt[4]{x} = 6$

Корень четной степени, правая часть положительна, значит, решение существует. Возведем обе части в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x})^4 = 6^4$

$x = 1296$

Ответ: $1296$.

5) Дано уравнение $\sqrt[5]{4x + 2} = 0$.

Корень нечетной степени, поэтому никаких ограничений на подкоренное выражение нет. Возведем обе части уравнения в пятую степень:

$(\sqrt[5]{4x + 2})^5 = 0^5$

$4x + 2 = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$4x = -2$

$x = -\frac{2}{4}$

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-0,5$.

6) Дано уравнение $\sqrt[5]{4x + 2} = 3$.

Корень нечетной степени, поэтому можем сразу возвести обе части уравнения в пятую степень:

$(\sqrt[5]{4x + 2})^5 = 3^5$

$4x + 2 = 243$

Решим полученное линейное уравнение:

$4x = 243 - 2$

$4x = 241$

$x = \frac{241}{4}$

$x = 60,25$

Ответ: $\frac{241}{4}$.

78. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $\sqrt[3]{42}$;

2) $\sqrt[4]{300}$;

3) $-\sqrt[3]{250}$?

1) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt[3]{42}$, найдем два последовательных целых числа, кубы которых "ограничивают" число 42.

Рассмотрим кубы последовательных целых чисел:

$3^3 = 27$

$4^3 = 64$

Так как $27 < 42 < 64$, то можно записать неравенство:

$3^3 < 42 < 4^3$

Извлекая кубический корень из всех частей неравенства, получаем:

$\sqrt[3]{3^3} < \sqrt[3]{42} < \sqrt[3]{4^3}$

$3 < \sqrt[3]{42} < 4$

Следовательно, число $\sqrt[3]{42}$ находится между числами 3 и 4.

Ответ: между 3 и 4.

2) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt[4]{300}$, найдем два последовательных целых числа, четвертые степени которых "ограничивают" число 300.

Рассмотрим четвертые степени последовательных целых чисел:

$4^4 = 256$

$5^4 = 625$

Так как $256 < 300 < 625$, то можно записать неравенство:

$4^4 < 300 < 5^4$

Извлекая корень четвертой степени из всех частей неравенства, получаем:

$\sqrt[4]{4^4} < \sqrt[4]{300} < \sqrt[4]{5^4}$

$4 < \sqrt[4]{300} < 5$

Следовательно, число $\sqrt[4]{300}$ находится между числами 4 и 5.

Ответ: между 4 и 5.

3) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $-\sqrt[3]{250}$, сначала найдем, между какими целыми числами находится положительное число $\sqrt[3]{250}$. Для этого найдем два последовательных целых числа, кубы которых "ограничивают" число 250.

Рассмотрим кубы последовательных целых чисел:

$6^3 = 216$

$7^3 = 343$

Так как $216 < 250 < 343$, то можно записать неравенство:

$6^3 < 250 < 7^3$

Извлекая кубический корень из всех частей неравенства, получаем:

$\sqrt[3]{6^3} < \sqrt[3]{250} < \sqrt[3]{7^3}$

$6 < \sqrt[3]{250} < 7$

Теперь умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-6 > -\sqrt[3]{250} > -7$

Запишем это неравенство в привычном порядке (от меньшего к большему):

$-7 < -\sqrt[3]{250} < -6$

Следовательно, число $-\sqrt[3]{250}$ находится между числами -7 и -6.

Ответ: между -7 и -6.

79. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами:

1) 2 и $\sqrt[3]{130}$;

2) $\sqrt[5]{-40}$ и $\sqrt[4]{650}$.

1)

Чтобы найти все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами 2 и $\sqrt[3]{130}$, необходимо сначала оценить значение $\sqrt[3]{130}$.

Для этого найдем два ближайших к 130 числа, которые являются кубами целых чисел.
$5^3 = 125$
$6^3 = 216$

Поскольку $125 < 130 < 216$, мы можем записать следующее неравенство для корней:
$\sqrt[3]{125} < \sqrt[3]{130} < \sqrt[3]{216}$
Это означает, что $5 < \sqrt[3]{130} < 6$.

Теперь нам нужно найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют условию $2 < x < \sqrt[3]{130}$.
Так как мы установили, что $\sqrt[3]{130}$ является числом между 5 и 6, то искомые целые числа должны быть больше 2 и меньше числа, которое больше 5.
Следовательно, это числа 3, 4 и 5.

Ответ: 3, 4, 5.

2)

Чтобы найти все целые числа между $\sqrt[5]{-40}$ и $\sqrt[4]{650}$, оценим значение каждого из этих чисел по отдельности.

Сначала оценим $\sqrt[5]{-40}$.
Поскольку корень нечетной степени, $\sqrt[5]{-40} = -\sqrt[5]{40}$.
Найдем два ближайших к 40 числа, которые являются пятыми степенями целых чисел.
$2^5 = 32$
$3^5 = 243$
Из неравенства $32 < 40 < 243$ следует, что $2 < \sqrt[5]{40} < 3$.
Умножив все части неравенства на -1, получаем: $-3 < -\sqrt[5]{40} < -2$.
Таким образом, $\sqrt[5]{-40}$ — это число, расположенное между -3 и -2.

Теперь оценим $\sqrt[4]{650}$.
Найдем два ближайших к 650 числа, которые являются четвертыми степенями целых чисел.
$5^4 = 625$
$6^4 = 1296$
Из неравенства $625 < 650 < 1296$ следует, что $\sqrt[4]{625} < \sqrt[4]{650} < \sqrt[4]{1296}$.
Это означает, что $5 < \sqrt[4]{650} < 6$.

Нам нужно найти все целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $\sqrt[5]{-40} < x < \sqrt[4]{650}$.
Подставляя наши оценки, получаем, что искомые целые числа находятся в интервале от числа между -3 и -2 до числа между 5 и 6.
Этому условию удовлетворяют целые числа: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

80. Решите уравнение:

1) $x^6 - 26x^3 - 27 = 0;$

2) $x^8 - 19x^4 + 18 = 0;$

3) $x^{12} + x^6 - 6 = 0.$

1) $x^6 - 26x^3 - 27 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно $x^3$. Его можно переписать в виде: $(x^3)^2 - 26(x^3) - 27 = 0$.

Введем новую переменную. Пусть $y = x^3$. Тогда уравнение примет вид стандартного квадратного уравнения:

$y^2 - 26y - 27 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета:

• Сумма корней: $y_1 + y_2 = 26$
• Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = -27$

Подбором находим корни: $y_1 = 27$ и $y_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

Для первого корня $y_1 = 27$:

$x^3 = 27$

$x = \sqrt[3]{27}$

$x = 3$

Для второго корня $y_2 = -1$:

$x^3 = -1$

$x = \sqrt[3]{-1}$

$x = -1$

Ответ: $x = 3, x = -1$.

2) $x^8 - 19x^4 + 18 = 0$

Это уравнение можно решить аналогичным способом, сделав замену. Заметим, что $x^8 = (x^4)^2$.

Пусть $y = x^4$. Тогда уравнение преобразуется в квадратное:

$y^2 - 19y + 18 = 0$

Снова воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $y_1 + y_2 = 19$
• Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = 18$

Легко видеть, что корнями являются $y_1 = 18$ и $y_2 = 1$.

Так как $y = x^4$, значение $y$ должно быть неотрицательным ($y \geq 0$). Оба наших корня удовлетворяют этому условию.

Выполним обратную замену.

Для $y_1 = 18$:

$x^4 = 18$

$x = \pm \sqrt[4]{18}$

Для $y_2 = 1$:

$x^4 = 1$

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

$x = \pm 1$

Ответ: $x = \pm 1, x = \pm \sqrt[4]{18}$.

3) $x^{12} + x^6 - 6 = 0$

Это уравнение также решается методом замены переменной. Заметим, что $x^{12} = (x^6)^2$.

Пусть $y = x^6$. Подставим в уравнение:

$y^2 + y - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Теперь найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$

Выполним обратную замену. Вспомним, что $y = x^6$. Так как $x^6$ — это четная степень, то $x^6 \geq 0$ для любого действительного $x$.

Рассмотрим первый корень $y_1 = 2$:

$x^6 = 2$

$x = \pm \sqrt[6]{2}$

Рассмотрим второй корень $y_2 = -3$:

$x^6 = -3$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как четная степень действительного числа не может быть отрицательной.

Ответ: $x = \pm \sqrt[6]{2}$.

81. Решите уравнение:

1) $(x^2 - 9)\sqrt[6]{x+2} = 0;$

2) $(x - 4)\sqrt[14]{x^2 - 10x + 9} = 0;$

3) $(|x| - 5)\sqrt[20]{4 - x} = 0.$

1) $(x^2 - 9)\sqrt[6]{x+2} = 0$

Данное уравнение эквивалентно системе, в которой мы приравниваем каждый множитель к нулю и учитываем область допустимых значений (ОДЗ) для корня четной степени.

1. Найдем ОДЗ. Так как корень имеет четную степень (6), подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x + 2 \ge 0$

$x \ge -2$

2. Решим уравнение. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x^2 - 9 = 0$ или $\sqrt[6]{x+2} = 0$.

Из первого уравнения получаем:

$x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -3$.

Из второго уравнения получаем:

$x+2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$.

3. Проверим, какие из найденных корней удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -2$):

• $x_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \ge -2$).
• $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию ($-3 < -2$).
• $x_3 = -2$ удовлетворяет условию ($-2 \ge -2$).

Таким образом, решениями уравнения являются $x = -2$ и $x = 3$.

Ответ: -2; 3.

2) $(x - 4)\sqrt[14]{x^2 - 10x + 9} = 0$

Аналогично первому пункту, найдем ОДЗ и решим уравнение.

1. ОДЗ для корня четной степени (14):

$x^2 - 10x + 9 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 10x + 9 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 10x + 9$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [9, \infty)$.

2. Решим уравнение, приравнивая множители к нулю:

$x - 4 = 0$ или $\sqrt[14]{x^2 - 10x + 9} = 0$.

Из первого уравнения: $x_1 = 4$.

Из второго уравнения: $x^2 - 10x + 9 = 0 \Rightarrow x_2 = 1, x_3 = 9$.

3. Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x \in (-\infty, 1] \cup [9, \infty)$):

• $x_1 = 4$ не принадлежит ОДЗ.
• $x_2 = 1$ принадлежит ОДЗ.
• $x_3 = 9$ принадлежит ОДЗ.

Следовательно, решениями являются $x = 1$ и $x = 9$.

Ответ: 1; 9.

3) $(|x| - 5)\sqrt[20]{4 - x} = 0$

Решаем по той же схеме.

1. Найдем ОДЗ для корня 20-й степени:

$4 - x \ge 0$

$x \le 4$

2. Приравняем множители к нулю:

$|x| - 5 = 0$ или $\sqrt[20]{4 - x} = 0$.

Из первого уравнения:

$|x| = 5 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -5$.

Из второго уравнения:

$4 - x = 0 \Rightarrow x_3 = 4$.

3. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \le 4$):

• $x_1 = 5$ не удовлетворяет условию ($5 > 4$).
• $x_2 = -5$ удовлетворяет условию ($-5 \le 4$).
• $x_3 = 4$ удовлетворяет условию ($4 \le 4$).

Таким образом, решениями уравнения являются $x = -5$ и $x = 4$.

Ответ: -5; 4.