Страница 127 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. Упростите выражение:

1) $\frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}} - \frac{2n}{n-m} - \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}-n^{\frac{1}{2}}};$

2) $\frac{a^{\frac{1}{4}}-3,2}{a^{\frac{1}{2}}-4a^{\frac{1}{4}}} + \frac{a^{\frac{1}{4}}-5}{5a^{\frac{1}{4}}-20} - \frac{a^{\frac{1}{4}}+4}{5a^{\frac{1}{4}}};$

3) $(\frac{m^{\frac{1}{5}}}{m^{\frac{1}{5}}+n^{\frac{1}{5}}} - \frac{m^{\frac{1}{5}}}{m^{\frac{1}{5}}-n^{\frac{1}{5}}}) : \frac{m^{\frac{6}{5}}n^{\frac{1}{5}}-m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{6}{5}}}{m^{\frac{2}{5}}-n^{\frac{2}{5}}}.$

1) Для упрощения выражения $ \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} - \frac{2n}{n-m} - \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}} $ преобразуем второй член.
Знаменатель второго члена $n-m = -(m-n)$. Тогда $-\frac{2n}{n-m} = \frac{2n}{m-n}$.
Выражение принимает вид: $ \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} + \frac{2n}{m-n} - \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}} $.
Общий знаменатель для всех дробей - это $m-n$, так как $m-n = (m^{\frac{1}{2}})^2 - (n^{\frac{1}{2}})^2 = (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})$.
Приведем все дроби к общему знаменателю:
$ \frac{m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})}{m-n} + \frac{2n}{m-n} - \frac{n^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})}{m-n} $
Объединим числители под одним знаменателем:
$ \frac{m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}) + 2n - n^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})}{m-n} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{m - m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + 2n - m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} - n}{m-n} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{m - 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n}{m-n} $
Числитель является формулой квадрата разности: $(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})^2$.
Знаменатель, как мы уже отмечали, является разностью квадратов: $(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})$.
Получаем дробь: $ \frac{(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})^2}{(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} $.
Сокращаем общий множитель $(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})$:
$ \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} $.
Ответ: $ \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} $

2) Рассмотрим выражение $ \frac{a^{\frac{1}{4}} - 3,2}{a^{\frac{1}{2}} - 4a^{\frac{1}{4}}} + \frac{a^{\frac{1}{4}} - 5}{5a^{\frac{1}{4}} - 20} - \frac{a^{\frac{1}{4}} + 4}{5a^{\frac{1}{4}}} $.
Для удобства введем замену $x = a^{\frac{1}{4}}$. Тогда $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2 = x^2$.
Выражение примет вид: $ \frac{x - 3,2}{x^2 - 4x} + \frac{x - 5}{5x - 20} - \frac{x + 4}{5x} $.
Разложим знаменатели на множители:
$ \frac{x - 3,2}{x(x-4)} + \frac{x - 5}{5(x-4)} - \frac{x + 4}{5x} $.
Общий знаменатель равен $5x(x-4)$. Приведем дроби к этому знаменателю:
$ \frac{5(x - 3,2)}{5x(x-4)} + \frac{x(x - 5)}{5x(x-4)} - \frac{(x-4)(x + 4)}{5x(x-4)} $
Запишем все под одной дробной чертой:
$ \frac{5(x - 3,2) + x(x - 5) - (x-4)(x+4)}{5x(x-4)} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{5x - 16 + x^2 - 5x - (x^2 - 16)}{5x(x-4)} = \frac{5x - 16 + x^2 - 5x - x^2 + 16}{5x(x-4)} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{(x^2 - x^2) + (5x - 5x) + (-16 + 16)}{5x(x-4)} = \frac{0}{5x(x-4)} = 0 $.
Ответ: $0$

3) Рассмотрим выражение $ \left( \frac{m^{\frac{1}{5}}}{m^{\frac{1}{5}} + n^{\frac{1}{5}}} - \frac{m^{\frac{1}{5}}}{m^{\frac{1}{5}} - n^{\frac{1}{5}}} \right) : \frac{m^{\frac{6}{5}}n^{\frac{1}{5}} - m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{6}{5}}}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} $.
Выполним действия по шагам.
1. Упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(m^{\frac{1}{5}} + n^{\frac{1}{5}})(m^{\frac{1}{5}} - n^{\frac{1}{5}}) = m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}$.
$ \frac{m^{\frac{1}{5}}(m^{\frac{1}{5}} - n^{\frac{1}{5}}) - m^{\frac{1}{5}}(m^{\frac{1}{5}} + n^{\frac{1}{5}})}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} = \frac{(m^{\frac{2}{5}} - m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}) - (m^{\frac{2}{5}} + m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}})}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} = \frac{m^{\frac{2}{5}} - m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}} - m^{\frac{2}{5}} - m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} = \frac{-2m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} $.
2. Упростим делитель. Вынесем в числителе общий множитель $m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}$ за скобки:
$ \frac{m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}(m - n)}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} $.
3. Выполним деление. Разделить на дробь - это то же самое, что умножить на обратную ей.
$ \frac{-2m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} : \frac{m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}(m - n)}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} = \frac{-2m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} \cdot \frac{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}}{m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}(m - n)} $.
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}$ и $m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}$.
Получим: $ \frac{-2}{m-n} $.
Это выражение можно записать как $ \frac{2}{-(m-n)} = \frac{2}{n-m} $.
Ответ: $ \frac{2}{n-m} $

123. Решите уравнение:

1) $\sqrt[10]{x+4} = -2;$

2) $\sqrt[5]{x+4} = -2;$

3) $\sqrt[4]{x+4} = \sqrt[4]{7-2x};$

4) $\sqrt{x+4} = \sqrt{2x+9};$

5) $\sqrt[16]{x+4} = \sqrt[16]{x^2+5x-1};$

6) $\sqrt{x+4} = -x-4.$

1) Дано уравнение $\sqrt[10]{x+4} = -2$.

По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае 10-й степени) от любого неотрицательного числа является неотрицательным числом. Это значит, что левая часть уравнения $\sqrt[10]{x+4}$ всегда больше или равна нулю ($\ge 0$) для всех $x$ из области определения ($x+4 \ge 0$).

Правая часть уравнения равна -2, что является отрицательным числом.

Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному числу, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: Корней нет.

2) Дано уравнение $\sqrt[5]{x+4} = -2$.

Корень нечетной степени (в данном случае 5-й степени) определен для любого действительного числа и может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Для решения уравнения возведем обе его части в 5-ю степень:

$(\sqrt[5]{x+4})^5 = (-2)^5$

$x+4 = -32$

Перенесем 4 в правую часть:

$x = -32 - 4$

$x = -36$

Сделаем проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$\sqrt[5]{-36+4} = \sqrt[5]{-32} = -2$.

$-2 = -2$. Равенство верное.

Ответ: $x = -36$.

3) Дано уравнение $\sqrt[4]{x+4} = \sqrt[4]{7-2x}$.

Так как корни имеют четную степень (4-ю), подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x+4 \ge 0 \\ 7-2x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ -2x \ge -7 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ x \le 3.5 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-4; 3.5]$.

Поскольку степени корней в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять подкоренные выражения:

$x+4 = 7-2x$

$x+2x = 7-4$

$3x = 3$

$x = 1$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $1 \in [-4; 3.5]$, корень является решением уравнения.

Ответ: $x = 1$.

4) Дано уравнение $\sqrt{x+4} = \sqrt{2x+9}$.

Так как корни квадратные (четная степень), найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x+4 \ge 0 \\ 2x+9 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ 2x \ge -9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ x \ge -4.5 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge -4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$(\sqrt{x+4})^2 = (\sqrt{2x+9})^2$

$x+4 = 2x+9$

$4-9 = 2x-x$

$x = -5$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Условие ОДЗ: $x \ge -4$. Найденный корень $x=-5$ не удовлетворяет этому условию (так как $-5 < -4$), следовательно, он является посторонним. Уравнение не имеет решений.

Ответ: Корней нет.

5) Дано уравнение $\sqrt[16]{x+4} = \sqrt[16]{x^2+5x-1}$.

Степень корня четная (16), поэтому подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x+4 \ge 0 \\ x^2+5x-1 \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge -4$.

Для второго неравенства $x^2+5x-1 \ge 0$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2+5x-1=0$ через дискриминант: $D = 5^2 - 4(1)(-1) = 29$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; \frac{-5-\sqrt{29}}{2}] \cup [\frac{-5+\sqrt{29}}{2}; +\infty)$.

Объединяя оба условия ($x \ge -4$ и $x \in (-\infty; \frac{-5-\sqrt{29}}{2}] \cup [\frac{-5+\sqrt{29}}{2}; +\infty)$), получаем ОДЗ: $x \in [\frac{-5+\sqrt{29}}{2}; +\infty)$.

Теперь решим уравнение, приравняв подкоренные выражения:

$x+4 = x^2+5x-1$

$x^2+4x-5 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ. Приближенное значение $\frac{-5+\sqrt{29}}{2} \approx 0.19$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x \ge 0.19$, значит, это верное решение.

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $x \ge 0.19$, значит, это посторонний корень.

Ответ: $x = 1$.

6) Дано уравнение $\sqrt{x+4} = -x-4$.

Найдем область допустимых значений. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$.

Во-вторых, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $-x-4 \ge 0 \implies -x \ge 4 \implies x \le -4$.

Система условий ОДЗ $\begin{cases} x \ge -4 \\ x \le -4 \end{cases}$ имеет единственное решение: $x = -4$.

Проверим, является ли $x=-4$ решением, подставив его в исходное уравнение:

$\sqrt{-4+4} = -(-4)-4$

$\sqrt{0} = 4-4$

$0 = 0$.

Равенство верное, следовательно, $x=-4$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $x = -4$.

124. Решите уравнение:

1) $\sqrt{5x+1} = 1-x;$

2) $x + \sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 5.$

1) $\sqrt{5x + 1} = 1 - x$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения (значение арифметического квадратного корня) также должна быть неотрицательной.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 5x + 1 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $5x \ge -1 \implies x \ge -0.2$

2. $-x \ge -1 \implies x \le 1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-0.2; 1]$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{5x + 1})^2 = (1 - x)^2$

$5x + 1 = 1 - 2x + x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 5x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 7x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 7) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$ или $x_2 = 7$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in [-0.2; 1]$).

Корень $x_1 = 0$ принадлежит ОДЗ, так как $-0.2 \le 0 \le 1$.

Корень $x_2 = 7$ не принадлежит ОДЗ, так как $7 > 1$. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $0$

2) $x + \sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 5$

Для решения этого уравнения сначала изолируем радикал (квадратный корень):

$\sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 5 - x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем и значение корня (правая часть) должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} 2x^2 - 14x + 13 \ge 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$5 - x \ge 0 \implies x \le 5$

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 5 - x$ в квадрат:

$(\sqrt{2x^2 - 14x + 13})^2 = (5 - x)^2$

$2x^2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - x^2 - 14x + 10x + 13 - 25 = 0$

$x^2 - 4x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а их произведение равно $-12$. Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \le 5$.

Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет условию $6 \le 5$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет условию $-2 \le 5$. Теперь необходимо проверить его подстановкой в исходное уравнение, чтобы убедиться, что он не является посторонним.

Проверка для $x = -2$:

$-2 + \sqrt{2(-2)^2 - 14(-2) + 13} = -2 + \sqrt{2(4) + 28 + 13} = -2 + \sqrt{8 + 28 + 13} = -2 + \sqrt{49} = -2 + 7 = 5$.

$5 = 5$. Равенство верное.

Ответ: $-2$

125. Решите уравнение:

1) $(2x-1)(x-3) = x-3$;

2) $(x+1)\sqrt{x^2+x-2} = 2x+2$.

1)

Исходное уравнение: $\sqrt{(2x-1)(x-3)} = x-3$.

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2, \\ g(x) \ge 0. \end{cases}$

В нашем случае система выглядит так:

$\begin{cases} (2x-1)(x-3) = (x-3)^2, \\ x-3 \ge 0. \end{cases}$

Решим сначала неравенство, которое задает область допустимых решений:

$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

Теперь решим уравнение:

$(2x-1)(x-3) = (x-3)^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$(2x-1)(x-3) - (x-3)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x-3)$ за скобки:

$(x-3)((2x-1) - (x-3)) = 0$

$(x-3)(2x-1-x+3) = 0$

$(x-3)(x+2) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x-3=0 \implies x_1 = 3$

$x+2=0 \implies x_2 = -2$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 3$.

Корень $x_1=3$ удовлетворяет условию ($3 \ge 3$), следовательно, является решением исходного уравнения.

Корень $x_2=-2$ не удовлетворяет условию ($-2 < 3$), следовательно, является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $3$.

2)

Исходное уравнение: $(x+1)\sqrt{x^2+x-2} = 2x+2$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x^2+x-2 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2+x-2=0$. По теореме Виета, $x_1=-2$ и $x_2=1$.

Так как ветви параболы $y=x^2+x-2$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь решим само уравнение. Преобразуем правую часть: $2x+2 = 2(x+1)$.

$(x+1)\sqrt{x^2+x-2} = 2(x+1)$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(x+1)\sqrt{x^2+x-2} - 2(x+1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)(\sqrt{x^2+x-2} - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x+1=0 \implies x=-1$.

Проверим, принадлежит ли этот корень ОДЗ: $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$. Число $-1$ не входит в эту область, следовательно, $x=-1$ является посторонним корнем.

Случай 2: $\sqrt{x^2+x-2} - 2 = 0$.

$\sqrt{x^2+x-2} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2+x-2 = 4$

$x^2+x-6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $x = -3$ и $x = 2$.

Проверим, принадлежат ли эти корни ОДЗ.

Корень $x=-3$ принадлежит ОДЗ, так как $-3 \in (-\infty, -2]$.

Корень $x=2$ принадлежит ОДЗ, так как $2 \in [1, \infty)$.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $-3; 2$.