Страница 126 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. Упростите выражение:

1) $b^{\frac{1}{6}}(b^{\frac{1}{6}} - 4) - (b^{\frac{1}{6}} - 2)^2;$

2) $(b^{\frac{1}{8}} - c^{\frac{1}{4}})(b^{\frac{1}{8}} + c^{\frac{1}{4}}) - (5b^{\frac{1}{8}} + 2c^{\frac{1}{4}})(3b^{\frac{1}{8}} - 4c^{\frac{1}{4}});$

3) $(a^{\frac{1}{24}} + b^{\frac{1}{24}})(a^{\frac{1}{24}} - b^{\frac{1}{24}})(a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}});$

4) $(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}) - y^{\frac{5}{8}}(y^{\frac{3}{8}} + y^{\frac{1}{4}}).$

1) Чтобы упростить выражение $b^{\frac{1}{6}}(b^{\frac{1}{6}} - 4) - (b^{\frac{1}{6}} - 2)^2$, раскроем скобки. Для первого слагаемого используем распределительное свойство умножения, а для второго — формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Раскрываем первую скобку:
$b^{\frac{1}{6}}(b^{\frac{1}{6}} - 4) = b^{\frac{1}{6}} \cdot b^{\frac{1}{6}} - 4 \cdot b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}} - 4b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{2}{6}} - 4b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}}$.
Раскрываем вторую скобку по формуле квадрата разности:
$(b^{\frac{1}{6}} - 2)^2 = (b^{\frac{1}{6}})^2 - 2 \cdot b^{\frac{1}{6}} \cdot 2 + 2^2 = b^{\frac{1}{6}\cdot 2} - 4b^{\frac{1}{6}} + 4 = b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}} + 4$.
Теперь подставим полученные выражения в исходное:
$(b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}}) - (b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}} + 4)$.
Раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых на противоположные:
$b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{3}} + 4b^{\frac{1}{6}} - 4$.
Приведем подобные слагаемые:
$(b^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) + (-4b^{\frac{1}{6}} + 4b^{\frac{1}{6}}) - 4 = 0 + 0 - 4 = -4$.
Ответ: $-4$.

2) Упростим выражение $(b^{\frac{1}{8}} - c^{\frac{1}{4}})(b^{\frac{1}{8}} + c^{\frac{1}{4}}) - (5b^{\frac{1}{8}} + 2c^{\frac{1}{4}})(3b^{\frac{1}{8}} - 4c^{\frac{1}{4}})$.
Первое произведение $(b^{\frac{1}{8}} - c^{\frac{1}{4}})(b^{\frac{1}{8}} + c^{\frac{1}{4}})$ является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(b^{\frac{1}{8}})^2 - (c^{\frac{1}{4}})^2 = b^{\frac{2}{8}} - c^{\frac{2}{4}} = b^{\frac{1}{4}} - c^{\frac{1}{2}}$.
Второе произведение $(5b^{\frac{1}{8}} + 2c^{\frac{1}{4}})(3b^{\frac{1}{8}} - 4c^{\frac{1}{4}})$ раскроем, перемножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$5b^{\frac{1}{8}} \cdot 3b^{\frac{1}{8}} + 5b^{\frac{1}{8}} \cdot (-4c^{\frac{1}{4}}) + 2c^{\frac{1}{4}} \cdot 3b^{\frac{1}{8}} + 2c^{\frac{1}{4}} \cdot (-4c^{\frac{1}{4}}) = 15b^{\frac{1}{4}} - 20b^{\frac{1}{8}}c^{\frac{1}{4}} + 6b^{\frac{1}{8}}c^{\frac{1}{4}} - 8c^{\frac{1}{2}}$.
Приведем подобные слагаемые: $15b^{\frac{1}{4}} - 14b^{\frac{1}{8}}c^{\frac{1}{4}} - 8c^{\frac{1}{2}}$.
Подставим результаты в исходное выражение:
$(b^{\frac{1}{4}} - c^{\frac{1}{2}}) - (15b^{\frac{1}{4}} - 14b^{\frac{1}{8}}c^{\frac{1}{4}} - 8c^{\frac{1}{2}})$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$b^{\frac{1}{4}} - c^{\frac{1}{2}} - 15b^{\frac{1}{4}} + 14b^{\frac{1}{8}}c^{\frac{1}{4}} + 8c^{\frac{1}{2}} = (1-15)b^{\frac{1}{4}} + (-1+8)c^{\frac{1}{2}} + 14b^{\frac{1}{8}}c^{\frac{1}{4}} = -14b^{\frac{1}{4}} + 7c^{\frac{1}{2}} + 14b^{\frac{1}{8}}c^{\frac{1}{4}}$.
Ответ: $-14b^{\frac{1}{4}} + 14b^{\frac{1}{8}}c^{\frac{1}{4}} + 7c^{\frac{1}{2}}$.

3) Для упрощения выражения $(a^{\frac{1}{24}} + b^{\frac{1}{24}})(a^{\frac{1}{24}} - b^{\frac{1}{24}})(a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})$ будем последовательно применять формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.
Шаг 1: Перемножим первые две скобки.
$(a^{\frac{1}{24}} + b^{\frac{1}{24}})(a^{\frac{1}{24}} - b^{\frac{1}{24}}) = (a^{\frac{1}{24}})^2 - (b^{\frac{1}{24}})^2 = a^{\frac{2}{24}} - b^{\frac{2}{24}} = a^{\frac{1}{12}} - b^{\frac{1}{12}}$.
Шаг 2: Умножим результат на третью скобку.
$(a^{\frac{1}{12}} - b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}}) = (a^{\frac{1}{12}})^2 - (b^{\frac{1}{12}})^2 = a^{\frac{2}{12}} - b^{\frac{2}{12}} = a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}$.
Шаг 3: Умножим полученное выражение на последнюю скобку.
$(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}) = (a^{\frac{1}{6}})^2 - (b^{\frac{1}{6}})^2 = a^{\frac{2}{6}} - b^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$.

4) Рассмотрим выражение $(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}) - y^{\frac{5}{8}}(y^{\frac{3}{8}} + y^{\frac{1}{4}})$.
Первая часть выражения $(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}})$ соответствует формуле суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a = x^{\frac{1}{3}}$ и $b = y^{\frac{1}{3}}$.
Применяя формулу, получаем: $(x^{\frac{1}{3}})^3 + (y^{\frac{1}{3}})^3 = x^1 + y^1 = x + y$.
Вторую часть выражения $- y^{\frac{5}{8}}(y^{\frac{3}{8}} + y^{\frac{1}{4}})$ упростим, раскрыв скобки:
$- (y^{\frac{5}{8}} \cdot y^{\frac{3}{8}} + y^{\frac{5}{8}} \cdot y^{\frac{1}{4}}) = - (y^{\frac{5}{8}+\frac{3}{8}} + y^{\frac{5}{8}+\frac{2}{8}}) = - (y^{\frac{8}{8}} + y^{\frac{7}{8}}) = - (y + y^{\frac{7}{8}})$.
Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$(x+y) - (y + y^{\frac{7}{8}})$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x + y - y - y^{\frac{7}{8}} = x - y^{\frac{7}{8}}$.
Ответ: $x - y^{\frac{7}{8}}$.

117. Найдите значение выражения:

1) $2^{2,4} \cdot 2^{-0,3} \cdot 2^{3,9};$

2) $(3^{-0,6})^4 \div 3^{-0,4};$

3) $(5^{-\frac{2}{3}})^{\frac{9}{16}} \cdot 25^{\frac{11}{16}};$

4) $16^{-0,75} \cdot 8^{\frac{5}{12}} \cdot 4^{\frac{5}{8}};$

5) $\left(\frac{36^{\frac{5}{6}} \cdot 2^{\frac{5}{6}}}{5^{-\frac{1}{6}} \cdot 6}\right)^{-12};$

1) Для того чтобы найти значение выражения $2^{2,4} \cdot 2^{-0,3} \cdot 2^{3,9}$, воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

$2^{2,4} \cdot 2^{-0,3} \cdot 2^{3,9} = 2^{2,4 + (-0,3) + 3,9} = 2^{2,1 + 3,9} = 2^6$

Вычислим значение $2^6$:

$2^6 = 64$

Ответ: $64$

2) Для того чтобы найти значение выражения $(3^{-0,6})^4 : 3^{-0,4}$, воспользуемся свойствами степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), а при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

Сначала упростим $(3^{-0,6})^4$:

$(3^{-0,6})^4 = 3^{-0,6 \cdot 4} = 3^{-2,4}$

Теперь выполним деление:

$3^{-2,4} : 3^{-0,4} = 3^{-2,4 - (-0,4)} = 3^{-2,4 + 0,4} = 3^{-2}$

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

3) Для того чтобы найти значение выражения $(5^{-\frac{2}{3}})^{\frac{9}{16}} \cdot 25^{\frac{11}{16}}$, приведем все степени к основанию 5, зная что $25 = 5^2$.

Упростим первую часть выражения:

$(5^{-\frac{2}{3}})^{\frac{9}{16}} = 5^{-\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{16}} = 5^{-\frac{18}{48}} = 5^{-\frac{3}{8}}$

Упростим вторую часть выражения:

$25^{\frac{11}{16}} = (5^2)^{\frac{11}{16}} = 5^{2 \cdot \frac{11}{16}} = 5^{\frac{22}{16}} = 5^{\frac{11}{8}}$

Теперь перемножим полученные результаты:

$5^{-\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{11}{8}} = 5^{-\frac{3}{8} + \frac{11}{8}} = 5^{\frac{8}{8}} = 5^1 = 5$

Ответ: $5$

4) Для того чтобы найти значение выражения $16^{-0,75} \cdot 8^{-\frac{5}{12}} \cdot 4^{\frac{5}{8}}$, приведем все основания к одному основанию, в данном случае к 2.

$16 = 2^4$; $8 = 2^3$; $4 = 2^2$. Также представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,75 = -\frac{3}{4}$.

Подставим эти значения в выражение:

$(2^4)^{-\frac{3}{4}} \cdot (2^3)^{-\frac{5}{12}} \cdot (2^2)^{\frac{5}{8}}$

Упростим каждый множитель:

$2^{4 \cdot (-\frac{3}{4})} = 2^{-3}$

$2^{3 \cdot (-\frac{5}{12})} = 2^{-\frac{15}{12}} = 2^{-\frac{5}{4}}$

$2^{2 \cdot \frac{5}{8}} = 2^{\frac{10}{8}} = 2^{\frac{5}{4}}$

Теперь перемножим степени:

$2^{-3} \cdot 2^{-\frac{5}{4}} \cdot 2^{\frac{5}{4}} = 2^{-3 - \frac{5}{4} + \frac{5}{4}} = 2^{-3}$

Вычислим конечный результат:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

5) Найдем значение выражения $(\frac{36^{\frac{5}{6}} \cdot 2^{\frac{5}{6}}}{5^{-\frac{1}{6}} \cdot 6})^{-12}$.

Воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ и применим внешний показатель степени $-12$ к каждому сомножителю в числителе и знаменателе: $(a^m)^n=a^{mn}$.

$\frac{(36^{\frac{5}{6}})^{-12} \cdot (2^{\frac{5}{6}})^{-12}}{(5^{-\frac{1}{6}})^{-12} \cdot 6^{-12}} = \frac{36^{\frac{5}{6} \cdot (-12)} \cdot 2^{\frac{5}{6} \cdot (-12)}}{5^{-\frac{1}{6} \cdot (-12)} \cdot 6^{-12}} = \frac{36^{-10} \cdot 2^{-10}}{5^2 \cdot 6^{-12}}$

Представим $36$ как $6^2$:

$\frac{(6^2)^{-10} \cdot 2^{-10}}{5^2 \cdot 6^{-12}} = \frac{6^{-20} \cdot 2^{-10}}{25 \cdot 6^{-12}}$

Упростим степени с основанием 6:

$\frac{6^{-20 - (-12)} \cdot 2^{-10}}{25} = \frac{6^{-8} \cdot 2^{-10}}{25}$

Представим $6$ как $2 \cdot 3$:

$\frac{(2 \cdot 3)^{-8} \cdot 2^{-10}}{25} = \frac{2^{-8} \cdot 3^{-8} \cdot 2^{-10}}{25}$

Объединим степени с основанием 2:

$\frac{2^{-8-10} \cdot 3^{-8}}{25} = \frac{2^{-18} \cdot 3^{-8}}{25}$

Запишем выражение с положительными показателями степени:

$\frac{1}{25 \cdot 2^{18} \cdot 3^8}$

Ответ: $\frac{1}{25 \cdot 2^{18} \cdot 3^8}$

118. Решите уравнение:

1) $x^{\frac{3}{5}} = 0,008$;

2) $(x+6)^{1\frac{1}{3}} = 625$.

1) $x^{\frac{3}{5}} = 0,008$

Запишем исходное уравнение:

$x^{\frac{3}{5}} = 0,008$

Представим десятичную дробь 0,008 в виде степени. Мы знаем, что $2^3 = 8$, поэтому $0,2^3 = 0,008$.

Уравнение принимает вид:

$x^{\frac{3}{5}} = (0,2)^3$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень, обратную к $\frac{3}{5}$, то есть в степень $\frac{5}{3}$.

$(x^{\frac{3}{5}})^{\frac{5}{3}} = ((0,2)^3)^{\frac{5}{3}}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$x^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = (0,2)^{3 \cdot \frac{5}{3}}$

$x^1 = (0,2)^5$

$x = 0,2^5$

Вычислим значение:

$x = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,00032$

Ответ: 0,00032

2) $(x + 6)^{1\frac{1}{3}} = 625$

Запишем исходное уравнение:

$(x + 6)^{1\frac{1}{3}} = 625$

Сначала преобразуем смешанное число в показателе степени в неправильную дробь:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь уравнение выглядит так:

$(x + 6)^{\frac{4}{3}} = 625$

Представим число 625 в виде степени. $625 = 25^2 = (5^2)^2 = 5^4$.

$(x + 6)^{\frac{4}{3}} = 5^4$

Левую часть уравнения можно записать как $(\sqrt[3]{x+6})^4$. Тогда уравнение примет вид:

$(\sqrt[3]{x+6})^4 = 5^4$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений, так как показатель степени 4 является четным числом (уравнение вида $A^{2k} = B^{2k}$ равносильно $A=B$ или $A=-B$):

$\sqrt[3]{x+6} = 5$ или $\sqrt[3]{x+6} = -5$

Решим каждое уравнение отдельно.

Первое уравнение:

$\sqrt[3]{x+6} = 5$

Возведем обе части в куб:

$(\sqrt[3]{x+6})^3 = 5^3$

$x+6 = 125$

$x = 125 - 6$

$x_1 = 119$

Второе уравнение:

$\sqrt[3]{x+6} = -5$

Возведем обе части в куб:

$(\sqrt[3]{x+6})^3 = (-5)^3$

$x+6 = -125$

$x = -125 - 6$

$x_2 = -131$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: 119; -131

119. Представьте данное выражение в виде: а) разности квадратов; б) разности кубов и разложите его на множители (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) $a^{17} - b^{11};$

2) $x^{\frac{2}{11}} - y^{\frac{15}{19}};$

3) $x^{\frac{1}{5}} - 7;$

4) $a^{\frac{7}{8}} - b^{\frac{1}{7}}.$

120. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $b - 4b^{\frac{1}{5}};$

2) $a^{\frac{4}{9}}b - b^{\frac{4}{9}}a;$

3) $9^{\frac{2}{5}} - 12^{\frac{2}{5}};$

4) $9a^{\frac{3}{16}} + 15a^{\frac{5}{8}};$

5) $7m^{\frac{1}{8}} - m^{\frac{1}{9}};$

6) $m^{\frac{11}{12}}n^{\frac{5}{7}} - mn - m^{\frac{1}{12}}n^{\frac{3}{7}}.$

1) В выражении $b - 4b^{\frac{1}{5}}$ общим множителем является степень переменной $b$ с наименьшим показателем. Показатели степеней переменной $b$ равны 1 и $\frac{1}{5}$. Наименьший показатель — это $\frac{1}{5}$. Следовательно, выносим за скобки $b^{\frac{1}{5}}$.

$b - 4b^{\frac{1}{5}} = b^{\frac{1}{5}} \cdot b^{1 - \frac{1}{5}} - 4 \cdot b^{\frac{1}{5}} = b^{\frac{1}{5}}(b^{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}} - 4) = b^{\frac{1}{5}}(b^{\frac{4}{5}} - 4)$.

Ответ: $b^{\frac{1}{5}}(b^{\frac{4}{5}} - 4)$.

2) В выражении $a^{\frac{4}{9}}b - b^{\frac{4}{9}}a$ общий множитель можно составить из степеней переменных $a$ и $b$. Перепишем выражение, указав все степени: $a^{\frac{4}{9}}b^1 - b^{\frac{4}{9}}a^1$. Наименьшая степень для $a$ из присутствующих в выражении — $a^{\frac{4}{9}}$, а для $b$ — $b^{\frac{4}{9}}$. Однако, ни $a^{\frac{4}{9}}$, ни $b^{\frac{4}{9}}$ не являются общими множителями для обоих членов. Можно вынести за скобку произведение $a^{\frac{4}{9}}b^{\frac{4}{9}}$.

$a^{\frac{4}{9}}b - b^{\frac{4}{9}}a = a^{\frac{4}{9}}b^{\frac{4}{9}}(\frac{a^{\frac{4}{9}}b^1}{a^{\frac{4}{9}}b^{\frac{4}{9}}} - \frac{b^{\frac{4}{9}}a^1}{a^{\frac{4}{9}}b^{\frac{4}{9}}}) = a^{\frac{4}{9}}b^{\frac{4}{9}}(b^{1-\frac{4}{9}} - a^{1-\frac{4}{9}}) = a^{\frac{4}{9}}b^{\frac{4}{9}}(b^{\frac{5}{9}} - a^{\frac{5}{9}})$.

Ответ: $a^{\frac{4}{9}}b^{\frac{4}{9}}(b^{\frac{5}{9}} - a^{\frac{5}{9}})$.

3) В выражении $9^{\frac{2}{5}} - 12^{\frac{2}{5}}$ найдем общий множитель для оснований 9 и 12. Разложим их на простые множители: $9=3^2$, $12=3 \cdot 4$. Общий множитель оснований — 3. Следовательно, мы можем вынести за скобки $3^{\frac{2}{5}}$.

$9^{\frac{2}{5}} - 12^{\frac{2}{5}} = (3 \cdot 3)^{\frac{2}{5}} - (3 \cdot 4)^{\frac{2}{5}} = 3^{\frac{2}{5}} \cdot 3^{\frac{2}{5}} - 3^{\frac{2}{5}} \cdot 4^{\frac{2}{5}} = 3^{\frac{2}{5}}(3^{\frac{2}{5}} - 4^{\frac{2}{5}})$.

Ответ: $3^{\frac{2}{5}}(3^{\frac{2}{5}} - 4^{\frac{2}{5}})$.

4) В выражении $9a^{\frac{3}{16}} + 15a^{\frac{5}{8}}$ найдем общий множитель для числовых коэффициентов и для переменной. Наибольший общий делитель для 9 и 15 равен 3. Для переменной $a$ нужно вынести степень с наименьшим показателем. Сравним показатели $\frac{3}{16}$ и $\frac{5}{8}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{5}{8} = \frac{10}{16}$. Так как $\frac{3}{16} < \frac{10}{16}$, наименьший показатель — $\frac{3}{16}$. Общий множитель всего выражения — $3a^{\frac{3}{16}}$.

$9a^{\frac{3}{16}} + 15a^{\frac{5}{8}} = 3a^{\frac{3}{16}}(3a^{\frac{3}{16}-\frac{3}{16}} + 5a^{\frac{5}{8}-\frac{3}{16}}) = 3a^{\frac{3}{16}}(3a^0 + 5a^{\frac{10}{16}-\frac{3}{16}}) = 3a^{\frac{3}{16}}(3 + 5a^{\frac{7}{16}})$.

Ответ: $3a^{\frac{3}{16}}(3 + 5a^{\frac{7}{16}})$.

5) В выражении $7m^{\frac{1}{8}} - m^{\frac{1}{9}}$ общим множителем является степень переменной $m$ с наименьшим показателем. Сравним показатели $\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{9}$. Приведем к общему знаменателю 72: $\frac{1}{8} = \frac{9}{72}$ и $\frac{1}{9} = \frac{8}{72}$. Так как $\frac{8}{72} < \frac{9}{72}$, наименьший показатель — $\frac{1}{9}$. Выносим $m^{\frac{1}{9}}$ за скобки.

$7m^{\frac{1}{8}} - m^{\frac{1}{9}} = m^{\frac{1}{9}}(7m^{\frac{1}{8}-\frac{1}{9}} - m^{\frac{1}{9}-\frac{1}{9}}) = m^{\frac{1}{9}}(7m^{\frac{9-8}{72}} - m^0) = m^{\frac{1}{9}}(7m^{\frac{1}{72}} - 1)$.

Ответ: $m^{\frac{1}{9}}(7m^{\frac{1}{72}} - 1)$.

6) В выражении $m^{\frac{11}{12}}n^{\frac{5}{7}} - mn - m^{\frac{1}{12}}n^{\frac{3}{7}}$ найдем общий множитель для каждой переменной отдельно.
Для переменной $m$ показатели степеней равны $\frac{11}{12}$, $1=\frac{12}{12}$ и $\frac{1}{12}$. Наименьший показатель — $\frac{1}{12}$.
Для переменной $n$ показатели степеней равны $\frac{5}{7}$, $1=\frac{7}{7}$ и $\frac{3}{7}$. Наименьший показатель — $\frac{3}{7}$.
Таким образом, общий множитель для всего выражения — это $m^{\frac{1}{12}}n^{\frac{3}{7}}$. Вынесем его за скобки:

$m^{\frac{11}{12}}n^{\frac{5}{7}} - mn - m^{\frac{1}{12}}n^{\frac{3}{7}} = m^{\frac{1}{12}}n^{\frac{3}{7}} (m^{\frac{11}{12}-\frac{1}{12}}n^{\frac{5}{7}-\frac{3}{7}} - m^{1-\frac{1}{12}}n^{1-\frac{3}{7}} - m^{\frac{1}{12}-\frac{1}{12}}n^{\frac{3}{7}-\frac{3}{7}})$.

Упростим показатели степеней в скобках:
$m^{\frac{10}{12}}n^{\frac{2}{7}} - m^{\frac{11}{12}}n^{\frac{4}{7}} - m^0n^0 = m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{2}{7}} - m^{\frac{11}{12}}n^{\frac{4}{7}} - 1$.

В результате получаем:
$m^{\frac{1}{12}}n^{\frac{3}{7}}(m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{2}{7}} - m^{\frac{11}{12}}n^{\frac{4}{7}} - 1)$.

Ответ: $m^{\frac{1}{12}}n^{\frac{3}{7}}(m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{2}{7}} - m^{\frac{11}{12}}n^{\frac{4}{7}} - 1)$.

121. Сократите дробь:

1) $ \frac{a + 6a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{4}} + 6} $

2) $ \frac{2m^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{2}} - 4m^{\frac{1}{3}}} $

3) $ \frac{36a - 25b}{6a^{0.5} + 5b^{0.5}} $

4) $ \frac{a^{1.5} - b^{1.5}}{a + a^{0.5}b^{0.5} + b} $

5) $ \frac{m^2 n^{1.5} - m^{1.5}n^2}{m - 2m^{0.5}n^{0.5} + n} $

6) $ \frac{x - 5x^{\frac{1}{5}}}{x^{\frac{6}{5}} - 5x^{\frac{2}{5}}} $

7) $ \frac{4a^{\frac{2}{3}} - 1}{8a - 1} $

8) $ \frac{x - 16x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{4}} - 4x^{\frac{1}{2}}} $

9) $ \frac{12^{\frac{1}{3}} - 4^{\frac{1}{3}}}{6^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{1}{3}}} $

1) В числителе дроби $\frac{a + 6a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{4}} + 6}$ вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{4}}$:
$a + 6a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4}}(a^{1-\frac{1}{4}} + 6) = a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{3}{4}} + 6)$.
Получим следующее выражение:
$\frac{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{3}{4}} + 6)}{a^{\frac{3}{4}} + 6}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a^{\frac{3}{4}} + 6)$.
Ответ: $a^{\frac{1}{4}}$.

2) В знаменателе дроби $\frac{2m^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{2}} - 4m^{\frac{1}{3}}}$ вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{1}{3}}$:
$m^{\frac{1}{2}} - 4m^{\frac{1}{3}} = m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} - 4) = m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{6}} - 4)$.
Получим следующее выражение:
$\frac{2m^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{6}} - 4)}$.
Сократим дробь на общий множитель $m^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $\frac{2}{m^{\frac{1}{6}} - 4}$.

3) Числитель дроби $\frac{36a - 25b}{6a^{0.5} + 5b^{0.5}}$ представляет собой разность квадратов, так как $36a = (6a^{0.5})^2$ и $25b = (5b^{0.5})^2$. Разложим его по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$36a - 25b = (6a^{0.5} - 5b^{0.5})(6a^{0.5} + 5b^{0.5})$.
Получим следующее выражение:
$\frac{(6a^{0.5} - 5b^{0.5})(6a^{0.5} + 5b^{0.5})}{6a^{0.5} + 5b^{0.5}}$.
Сократим дробь на общий множитель $(6a^{0.5} + 5b^{0.5})$.
Ответ: $6a^{0.5} - 5b^{0.5}$.

4) Числитель дроби $\frac{a^{1.5} - b^{1.5}}{a + a^{0.5}b^{0.5} + b}$ является разностью кубов, так как $a^{1.5} = (a^{0.5})^3$ и $b^{1.5} = (b^{0.5})^3$. Знаменатель является неполным квадратом суммы: $a + a^{0.5}b^{0.5} + b = (a^{0.5})^2 + a^{0.5}b^{0.5} + (b^{0.5})^2$. Разложим числитель по формуле $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$a^{1.5} - b^{1.5} = (a^{0.5} - b^{0.5})((a^{0.5})^2 + a^{0.5}b^{0.5} + (b^{0.5})^2) = (a^{0.5} - b^{0.5})(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)$.
Получим следующее выражение:
$\frac{(a^{0.5} - b^{0.5})(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)}{a + a^{0.5}b^{0.5} + b}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)$.
Ответ: $a^{0.5} - b^{0.5}$.

5) В числителе дроби $\frac{m^2n^{1.5} - m^{1.5}n^2}{m - 2m^{0.5}n^{0.5} + n}$ вынесем за скобки общий множитель $m^{1.5}n^{1.5}$:
$m^2n^{1.5} - m^{1.5}n^2 = m^{1.5}n^{1.5}(m^{0.5} - n^{0.5})$.
Знаменатель представляет собой полный квадрат разности: $m - 2m^{0.5}n^{0.5} + n = (m^{0.5} - n^{0.5})^2$.
Получим следующее выражение:
$\frac{m^{1.5}n^{1.5}(m^{0.5} - n^{0.5})}{(m^{0.5} - n^{0.5})^2}$.
Сократим дробь на общий множитель $(m^{0.5} - n^{0.5})$.
Ответ: $\frac{m^{1.5}n^{1.5}}{m^{0.5} - n^{0.5}}$.

6) В числителе дроби $\frac{x - 5x^{\frac{1}{5}}}{x^{\frac{6}{5}} - 5x^{\frac{2}{5}}}$ вынесем за скобки $x^{\frac{1}{5}}$:
$x - 5x^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{1}{5}}(x^{1-\frac{1}{5}} - 5) = x^{\frac{1}{5}}(x^{\frac{4}{5}} - 5)$.
В знаменателе вынесем за скобки $x^{\frac{2}{5}}$:
$x^{\frac{6}{5}} - 5x^{\frac{2}{5}} = x^{\frac{2}{5}}(x^{\frac{6}{5}-\frac{2}{5}} - 5) = x^{\frac{2}{5}}(x^{\frac{4}{5}} - 5)$.
Получим следующее выражение:
$\frac{x^{\frac{1}{5}}(x^{\frac{4}{5}} - 5)}{x^{\frac{2}{5}}(x^{\frac{4}{5}} - 5)}$.
Сократим на $(x^{\frac{4}{5}} - 5)$ и упростим оставшееся выражение: $\frac{x^{\frac{1}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}} = x^{\frac{1}{5}-\frac{2}{5}} = x^{-\frac{1}{5}}$.
Ответ: $x^{-\frac{1}{5}}$.

7) Представим числитель $\frac{4a^{\frac{2}{3}} - 1}{8a - 1}$ как разность квадратов $(2a^{\frac{1}{3}})^2 - 1^2$, а знаменатель как разность кубов $(2a^{\frac{1}{3}})^3 - 1^3$.
Разложим числитель: $4a^{\frac{2}{3}} - 1 = (2a^{\frac{1}{3}} - 1)(2a^{\frac{1}{3}} + 1)$.
Разложим знаменатель: $8a - 1 = (2a^{\frac{1}{3}} - 1)((2a^{\frac{1}{3}})^2 + 2a^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1^2) = (2a^{\frac{1}{3}} - 1)(4a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}} + 1)$.
Получим следующее выражение:
$\frac{(2a^{\frac{1}{3}} - 1)(2a^{\frac{1}{3}} + 1)}{(2a^{\frac{1}{3}} - 1)(4a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}} + 1)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(2a^{\frac{1}{3}} - 1)$.
Ответ: $\frac{2a^{\frac{1}{3}} + 1}{4a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}} + 1}$.

8) В числителе дроби $\frac{x - 16x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{4}} - 4x^{\frac{1}{2}}}$ вынесем за скобки $x^{\frac{1}{2}}$:
$x - 16x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - 16)$.
В знаменателе вынесем за скобки $x^{\frac{1}{2}}$:
$x^{\frac{3}{4}} - 4x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}} - 4) = x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}} - 4)$.
Получим следующее выражение:
$\frac{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - 16)}{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}} - 4)}$.
Сократим на $x^{\frac{1}{2}}$ и разложим оставшийся числитель $x^{\frac{1}{2}} - 16$ как разность квадратов $(x^{\frac{1}{4}})^2 - 4^2$:
$\frac{(x^{\frac{1}{4}} - 4)(x^{\frac{1}{4}} + 4)}{x^{\frac{1}{4}} - 4}$.
Сократим на $(x^{\frac{1}{4}} - 4)$.
Ответ: $x^{\frac{1}{4}} + 4$.

9) В числителе дроби $\frac{12^{\frac{1}{3}} - 4^{\frac{1}{3}}}{6^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{1}{3}}}$ вынесем за скобки общий множитель $4^{\frac{1}{3}}$:
$12^{\frac{1}{3}} - 4^{\frac{1}{3}} = (4 \cdot 3)^{\frac{1}{3}} - 4^{\frac{1}{3}} = 4^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} - 4^{\frac{1}{3}} = 4^{\frac{1}{3}}(3^{\frac{1}{3}} - 1)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $2^{\frac{1}{3}}$:
$6^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{1}{3}} = (2 \cdot 3)^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}}(3^{\frac{1}{3}} - 1)$.
Получим следующее выражение:
$\frac{4^{\frac{1}{3}}(3^{\frac{1}{3}} - 1)}{2^{\frac{1}{3}}(3^{\frac{1}{3}} - 1)}$.
Сократим на $(3^{\frac{1}{3}} - 1)$ и упростим: $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}} = (\frac{4}{2})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $2^{\frac{1}{3}}$.