Номер 121, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Сократите дробь:

1) $ \frac{a + 6a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{4}} + 6} $

2) $ \frac{2m^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{2}} - 4m^{\frac{1}{3}}} $

3) $ \frac{36a - 25b}{6a^{0.5} + 5b^{0.5}} $

4) $ \frac{a^{1.5} - b^{1.5}}{a + a^{0.5}b^{0.5} + b} $

5) $ \frac{m^2 n^{1.5} - m^{1.5}n^2}{m - 2m^{0.5}n^{0.5} + n} $

6) $ \frac{x - 5x^{\frac{1}{5}}}{x^{\frac{6}{5}} - 5x^{\frac{2}{5}}} $

7) $ \frac{4a^{\frac{2}{3}} - 1}{8a - 1} $

8) $ \frac{x - 16x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{4}} - 4x^{\frac{1}{2}}} $

9) $ \frac{12^{\frac{1}{3}} - 4^{\frac{1}{3}}}{6^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{1}{3}}} $

1) В числителе дроби $\frac{a + 6a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{4}} + 6}$ вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{4}}$:
$a + 6a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4}}(a^{1-\frac{1}{4}} + 6) = a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{3}{4}} + 6)$.
Получим следующее выражение:
$\frac{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{3}{4}} + 6)}{a^{\frac{3}{4}} + 6}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a^{\frac{3}{4}} + 6)$.
Ответ: $a^{\frac{1}{4}}$.

2) В знаменателе дроби $\frac{2m^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{2}} - 4m^{\frac{1}{3}}}$ вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{1}{3}}$:
$m^{\frac{1}{2}} - 4m^{\frac{1}{3}} = m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} - 4) = m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{6}} - 4)$.
Получим следующее выражение:
$\frac{2m^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{6}} - 4)}$.
Сократим дробь на общий множитель $m^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $\frac{2}{m^{\frac{1}{6}} - 4}$.

3) Числитель дроби $\frac{36a - 25b}{6a^{0.5} + 5b^{0.5}}$ представляет собой разность квадратов, так как $36a = (6a^{0.5})^2$ и $25b = (5b^{0.5})^2$. Разложим его по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$36a - 25b = (6a^{0.5} - 5b^{0.5})(6a^{0.5} + 5b^{0.5})$.
Получим следующее выражение:
$\frac{(6a^{0.5} - 5b^{0.5})(6a^{0.5} + 5b^{0.5})}{6a^{0.5} + 5b^{0.5}}$.
Сократим дробь на общий множитель $(6a^{0.5} + 5b^{0.5})$.
Ответ: $6a^{0.5} - 5b^{0.5}$.

4) Числитель дроби $\frac{a^{1.5} - b^{1.5}}{a + a^{0.5}b^{0.5} + b}$ является разностью кубов, так как $a^{1.5} = (a^{0.5})^3$ и $b^{1.5} = (b^{0.5})^3$. Знаменатель является неполным квадратом суммы: $a + a^{0.5}b^{0.5} + b = (a^{0.5})^2 + a^{0.5}b^{0.5} + (b^{0.5})^2$. Разложим числитель по формуле $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$a^{1.5} - b^{1.5} = (a^{0.5} - b^{0.5})((a^{0.5})^2 + a^{0.5}b^{0.5} + (b^{0.5})^2) = (a^{0.5} - b^{0.5})(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)$.
Получим следующее выражение:
$\frac{(a^{0.5} - b^{0.5})(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)}{a + a^{0.5}b^{0.5} + b}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)$.
Ответ: $a^{0.5} - b^{0.5}$.

5) В числителе дроби $\frac{m^2n^{1.5} - m^{1.5}n^2}{m - 2m^{0.5}n^{0.5} + n}$ вынесем за скобки общий множитель $m^{1.5}n^{1.5}$:
$m^2n^{1.5} - m^{1.5}n^2 = m^{1.5}n^{1.5}(m^{0.5} - n^{0.5})$.
Знаменатель представляет собой полный квадрат разности: $m - 2m^{0.5}n^{0.5} + n = (m^{0.5} - n^{0.5})^2$.
Получим следующее выражение:
$\frac{m^{1.5}n^{1.5}(m^{0.5} - n^{0.5})}{(m^{0.5} - n^{0.5})^2}$.
Сократим дробь на общий множитель $(m^{0.5} - n^{0.5})$.
Ответ: $\frac{m^{1.5}n^{1.5}}{m^{0.5} - n^{0.5}}$.

6) В числителе дроби $\frac{x - 5x^{\frac{1}{5}}}{x^{\frac{6}{5}} - 5x^{\frac{2}{5}}}$ вынесем за скобки $x^{\frac{1}{5}}$:
$x - 5x^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{1}{5}}(x^{1-\frac{1}{5}} - 5) = x^{\frac{1}{5}}(x^{\frac{4}{5}} - 5)$.
В знаменателе вынесем за скобки $x^{\frac{2}{5}}$:
$x^{\frac{6}{5}} - 5x^{\frac{2}{5}} = x^{\frac{2}{5}}(x^{\frac{6}{5}-\frac{2}{5}} - 5) = x^{\frac{2}{5}}(x^{\frac{4}{5}} - 5)$.
Получим следующее выражение:
$\frac{x^{\frac{1}{5}}(x^{\frac{4}{5}} - 5)}{x^{\frac{2}{5}}(x^{\frac{4}{5}} - 5)}$.
Сократим на $(x^{\frac{4}{5}} - 5)$ и упростим оставшееся выражение: $\frac{x^{\frac{1}{5}}}{x^{\frac{2}{5}}} = x^{\frac{1}{5}-\frac{2}{5}} = x^{-\frac{1}{5}}$.
Ответ: $x^{-\frac{1}{5}}$.

7) Представим числитель $\frac{4a^{\frac{2}{3}} - 1}{8a - 1}$ как разность квадратов $(2a^{\frac{1}{3}})^2 - 1^2$, а знаменатель как разность кубов $(2a^{\frac{1}{3}})^3 - 1^3$.
Разложим числитель: $4a^{\frac{2}{3}} - 1 = (2a^{\frac{1}{3}} - 1)(2a^{\frac{1}{3}} + 1)$.
Разложим знаменатель: $8a - 1 = (2a^{\frac{1}{3}} - 1)((2a^{\frac{1}{3}})^2 + 2a^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1^2) = (2a^{\frac{1}{3}} - 1)(4a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}} + 1)$.
Получим следующее выражение:
$\frac{(2a^{\frac{1}{3}} - 1)(2a^{\frac{1}{3}} + 1)}{(2a^{\frac{1}{3}} - 1)(4a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}} + 1)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(2a^{\frac{1}{3}} - 1)$.
Ответ: $\frac{2a^{\frac{1}{3}} + 1}{4a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}} + 1}$.

8) В числителе дроби $\frac{x - 16x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{4}} - 4x^{\frac{1}{2}}}$ вынесем за скобки $x^{\frac{1}{2}}$:
$x - 16x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - 16)$.
В знаменателе вынесем за скобки $x^{\frac{1}{2}}$:
$x^{\frac{3}{4}} - 4x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}} - 4) = x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}} - 4)$.
Получим следующее выражение:
$\frac{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - 16)}{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}} - 4)}$.
Сократим на $x^{\frac{1}{2}}$ и разложим оставшийся числитель $x^{\frac{1}{2}} - 16$ как разность квадратов $(x^{\frac{1}{4}})^2 - 4^2$:
$\frac{(x^{\frac{1}{4}} - 4)(x^{\frac{1}{4}} + 4)}{x^{\frac{1}{4}} - 4}$.
Сократим на $(x^{\frac{1}{4}} - 4)$.
Ответ: $x^{\frac{1}{4}} + 4$.

9) В числителе дроби $\frac{12^{\frac{1}{3}} - 4^{\frac{1}{3}}}{6^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{1}{3}}}$ вынесем за скобки общий множитель $4^{\frac{1}{3}}$:
$12^{\frac{1}{3}} - 4^{\frac{1}{3}} = (4 \cdot 3)^{\frac{1}{3}} - 4^{\frac{1}{3}} = 4^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} - 4^{\frac{1}{3}} = 4^{\frac{1}{3}}(3^{\frac{1}{3}} - 1)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $2^{\frac{1}{3}}$:
$6^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{1}{3}} = (2 \cdot 3)^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}}(3^{\frac{1}{3}} - 1)$.
Получим следующее выражение:
$\frac{4^{\frac{1}{3}}(3^{\frac{1}{3}} - 1)}{2^{\frac{1}{3}}(3^{\frac{1}{3}} - 1)}$.
Сократим на $(3^{\frac{1}{3}} - 1)$ и упростим: $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}} = (\frac{4}{2})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $2^{\frac{1}{3}}$.