Номер 115, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Известно, что $a$ — положительное число. Представьте выражение в виде:

а) квадрата;

б) куба;

в) восьмой степени:

1) $a^{16}$;

2) $a^{-12}$;

3) $a^{\frac{1}{5}}$;

4) $a^{2,4}$;

5) $a^{-2\frac{1}{6}}$.

Для представления выражения $a^p$ в виде n-ой степени, мы используем свойство степени $(a^k)^n = a^{k \cdot n}$. Отсюда следует, что показатель степени $k$ должен быть равен $p/n$. Таким образом, $a^p = (a^{p/n})^n$.

1) $a^{16}$

а) Чтобы представить в виде квадрата (n=2), показатель степени нового основания будет $16/2 = 8$.
Ответ: $(a^8)^2$.

б) Чтобы представить в виде куба (n=3), показатель степени нового основания будет $16/3$.
Ответ: $(a^{16/3})^3$.

в) Чтобы представить в виде восьмой степени (n=8), показатель степени нового основания будет $16/8 = 2$.
Ответ: $(a^2)^8$.

2) $a^{-12}$

а) В виде квадрата (n=2): показатель степени равен $-12/2 = -6$.
Ответ: $(a^{-6})^2$.

б) В виде куба (n=3): показатель степени равен $-12/3 = -4$.
Ответ: $(a^{-4})^3$.

в) В виде восьмой степени (n=8): показатель степени равен $-12/8 = -3/2 = -1.5$.
Ответ: $(a^{-3/2})^8$.

3) $a^{\frac{1}{5}}$

а) В виде квадрата (n=2): показатель степени равен $\frac{1}{5} \div 2 = \frac{1}{10}$.
Ответ: $(a^{1/10})^2$.

б) В виде куба (n=3): показатель степени равен $\frac{1}{5} \div 3 = \frac{1}{15}$.
Ответ: $(a^{1/15})^3$.

в) В виде восьмой степени (n=8): показатель степени равен $\frac{1}{5} \div 8 = \frac{1}{40}$.
Ответ: $(a^{1/40})^8$.

4) $a^{2.4}$

а) В виде квадрата (n=2): показатель степени равен $2.4 / 2 = 1.2$.
Ответ: $(a^{1.2})^2$.

б) В виде куба (n=3): показатель степени равен $2.4 / 3 = 0.8$.
Ответ: $(a^{0.8})^3$.

в) В виде восьмой степени (n=8): показатель степени равен $2.4 / 8 = 0.3$.
Ответ: $(a^{0.3})^8$.

5) $a^{-2\frac{1}{6}}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-2\frac{1}{6} = -\frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = -\frac{13}{6}$. Таким образом, мы работаем с выражением $a^{-13/6}$.

а) В виде квадрата (n=2): показатель степени равен $-\frac{13}{6} \div 2 = -\frac{13}{12}$.
Ответ: $(a^{-13/12})^2$.

б) В виде куба (n=3): показатель степени равен $-\frac{13}{6} \div 3 = -\frac{13}{18}$.
Ответ: $(a^{-13/18})^3$.

в) В виде восьмой степени (n=8): показатель степени равен $-\frac{13}{6} \div 8 = -\frac{13}{48}$.
Ответ: $(a^{-13/48})^8$.