Номер 109, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

109. Упростите выражение:

1) $(\sqrt[3]{a} + 2)(\sqrt[3]{a} - 2) - (\sqrt[3]{a} + 3)^2;$

2) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} - \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{a} + 1};$

3) $\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[6]{ab} - \sqrt[3]{b}} - \frac{2\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}};$

4) $\left(\frac{\sqrt[4]{a} - 2}{\sqrt[4]{a} + 2} - \frac{\sqrt[4]{a} + 2}{\sqrt[4]{a} - 2}\right) : \frac{12\sqrt{a}}{4 - \sqrt{a}};$

5) $\frac{3\sqrt[8]{a}}{\sqrt[8]{a} - 4} - \frac{\sqrt[8]{a} + 2}{2\sqrt[8]{a} - 8} \cdot \frac{96}{\sqrt[4]{a} + 2\sqrt[8]{a}}.$

1) $(\sqrt[3]{a} + 2)(\sqrt[3]{a} - 2) - (\sqrt[3]{a} + 3)^2$

Для первого произведения применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$, а для второго слагаемого — формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

Первый член: $(\sqrt[3]{a} + 2)(\sqrt[3]{a} - 2) = (\sqrt[3]{a})^2 - 2^2 = \sqrt[3]{a^2} - 4$.

Второй член: $(\sqrt[3]{a} + 3)^2 = (\sqrt[3]{a})^2 + 2 \cdot \sqrt[3]{a} \cdot 3 + 3^2 = \sqrt[3]{a^2} + 6\sqrt[3]{a} + 9$.

Теперь вычтем второе из первого:

$(\sqrt[3]{a^2} - 4) - (\sqrt[3]{a^2} + 6\sqrt[3]{a} + 9) = \sqrt[3]{a^2} - 4 - \sqrt[3]{a^2} - 6\sqrt[3]{a} - 9$.

Приводим подобные слагаемые:

$(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a^2}) - 6\sqrt[3]{a} - 4 - 9 = -6\sqrt[3]{a} - 13$.

Ответ: $-6\sqrt[3]{a} - 13$.

2) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{a}+1}$

Заметим, что $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$. Сделаем замену $x = \sqrt[4]{a}$, тогда выражение примет вид:

$\frac{x^2}{x^2-1} - \frac{x}{x+1}$.

Знаменатель первой дроби $x^2-1$ является разностью квадратов, поэтому $x^2-1=(x-1)(x+1)$.

$\frac{x^2}{(x-1)(x+1)} - \frac{x}{x+1}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$:

$\frac{x^2}{(x-1)(x+1)} - \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 - (x^2-x)}{(x-1)(x+1)}$.

Упростим числитель:

$\frac{x^2 - x^2 + x}{(x-1)(x+1)} = \frac{x}{x^2-1}$.

Выполним обратную замену $x = \sqrt[4]{a}$:

$\frac{\sqrt[4]{a}}{(\sqrt[4]{a})^2-1} = \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}-1}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}-1}$.

3) $\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[6]{ab} - \sqrt[3]{b}} - \frac{2\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}$

Приведем все корни к показателю 6. Пусть $u = \sqrt[6]{a}$ и $v = \sqrt[6]{b}$. Тогда $\sqrt[3]{a} = u^2$, $\sqrt[3]{b} = v^2$ и $\sqrt[6]{ab}=uv$.

Подставим в выражение:

$\frac{u^2+v^2}{uv - v^2} - \frac{2u}{u-v}$.

Вынесем $v$ за скобки в знаменателе первой дроби:

$\frac{u^2+v^2}{v(u-v)} - \frac{2u}{u-v}$.

Приведем к общему знаменателю $v(u-v)$:

$\frac{u^2+v^2 - 2u \cdot v}{v(u-v)} = \frac{u^2-2uv+v^2}{v(u-v)}$.

Числитель является полным квадратом разности $(u-v)^2$:

$\frac{(u-v)^2}{v(u-v)}$.

Сократим дробь на $(u-v)$:

$\frac{u-v}{v} = \frac{u}{v} - 1$.

Сделаем обратную замену:

$\frac{\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{b}} - 1 = \sqrt[6]{\frac{a}{b}} - 1$.

Ответ: $\sqrt[6]{\frac{a}{b}} - 1$.

4) $(\frac{\sqrt[4]{a}-2}{\sqrt[4]{a}+2} - \frac{\sqrt[4]{a}+2}{\sqrt[4]{a}-2}) : \frac{12\sqrt{a}}{4-\sqrt{a}}$

Упростим выражение в скобках. Пусть $x = \sqrt[4]{a}$.

$\frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} = \frac{(x-2)^2 - (x+2)^2}{(x+2)(x-2)}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(x^2-4x+4) - (x^2+4x+4)}{x^2-4} = \frac{-8x}{x^2-4}$.

Теперь преобразуем делитель, учитывая, что $\sqrt{a}=x^2$:

$\frac{12\sqrt{a}}{4-\sqrt{a}} = \frac{12x^2}{4-x^2}$.

Выполним деление:

$\frac{-8x}{x^2-4} : \frac{12x^2}{4-x^2} = \frac{-8x}{x^2-4} \cdot \frac{4-x^2}{12x^2}$.

Так как $4-x^2 = -(x^2-4)$, получим:

$\frac{-8x}{x^2-4} \cdot \frac{-(x^2-4)}{12x^2} = \frac{8x(x^2-4)}{12x^2(x^2-4)}$.

Сократим дробь на $4x$ и $(x^2-4)$:

$\frac{2}{3x}$.

Выполним обратную замену $x=\sqrt[4]{a}$:

$\frac{2}{3\sqrt[4]{a}}$.

Ответ: $\frac{2}{3\sqrt[4]{a}}$.

5) $\frac{3\sqrt[8]{a}}{\sqrt[8]{a}-4} - \frac{\sqrt[8]{a}+2}{2\sqrt[8]{a}-8} \cdot \frac{96}{\sqrt[4]{a}+2\sqrt[8]{a}}$

Пусть $x = \sqrt[8]{a}$, тогда $\sqrt[4]{a}=x^2$. Выражение примет вид:

$\frac{3x}{x-4} - \frac{x+2}{2x-8} \cdot \frac{96}{x^2+2x}$.

Сначала выполним умножение. Разложим знаменатели на множители:

$\frac{x+2}{2(x-4)} \cdot \frac{96}{x(x+2)}$.

Сократим на $(x+2)$ и на 2:

$\frac{1}{2(x-4)} \cdot \frac{96}{x} = \frac{48}{x(x-4)}$.

Теперь выполним вычитание:

$\frac{3x}{x-4} - \frac{48}{x(x-4)}$.

Приведем к общему знаменателю $x(x-4)$:

$\frac{3x \cdot x - 48}{x(x-4)} = \frac{3x^2-48}{x(x-4)}$.

Вынесем 3 за скобки в числителе и разложим разность квадратов:

$\frac{3(x^2-16)}{x(x-4)} = \frac{3(x-4)(x+4)}{x(x-4)}$.

Сократим дробь на $(x-4)$:

$\frac{3(x+4)}{x}$.

Выполним обратную замену $x=\sqrt[8]{a}$:

$\frac{3(\sqrt[8]{a}+4)}{\sqrt[8]{a}}$.

Ответ: $\frac{3(\sqrt[8]{a}+4)}{\sqrt[8]{a}}$.