Номер 113, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Дана функция $y = x^{\frac{6}{7}}$.

Это степенная функция с показателем $a = \frac{6}{7}$. Поскольку показатель степени является положительным, но нецелым числом, по определению такой степенной функции ее основание должно быть неотрицательным.

Следовательно, мы должны иметь $x \ge 0$.

Таким образом, область определения функции — это все неотрицательные числа.

Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$.

Дана функция $y = x^{-2,3}$.

Это степенная функция с показателем $a = -2,3$. Поскольку показатель степени является отрицательным и нецелым числом, по определению такой степенной функции ее основание должно быть строго положительным (неотрицательным из-за нецелого показателя и не равным нулю из-за отрицательного показателя).

Следовательно, мы должны иметь $x > 0$.

Таким образом, область определения функции — это все положительные числа.

Ответ: $D(y) = (0; +\infty)$.

Дана функция $y = (3 - x)^{2,8}$.

Это степенная функция с показателем $a = 2,8$. Поскольку показатель степени является положительным нецелым числом, основание степени $(3 - x)$ должно быть неотрицательным.

Решим неравенство:

$3 - x \ge 0$

$-x \ge -3$

$x \le 3$

Таким образом, область определения функции — это все числа, не превосходящие 3.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 3]$.

Дана функция $y = \left(\frac{x - 8}{x + 5}\right)^{3,2}$.

Показатель степени $a = 3,2$ является положительным нецелым числом. Следовательно, основание степени $\frac{x-8}{x+5}$ должно быть неотрицательным.

Кроме того, знаменатель дроби в основании не может быть равен нулю.

Получаем систему условий:

$\begin{cases} \frac{x-8}{x+5} \ge 0 \\ x+5 \ne 0 \end{cases}$

Решим неравенство $\frac{x-8}{x+5} \ge 0$ методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя: $x-8=0 \implies x=8$; $x+5=0 \implies x=-5$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Точка $x=8$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а точка $x=-5$ — выколотой (знаменатель не может быть равен нулю).

Получим три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 8]$ и $[8; +\infty)$.

Определим знак выражения на каждом интервале:

• При $x \in (8; +\infty)$, например $x=10$: $\frac{10-8}{10+5} > 0$. Знак «+».
• При $x \in (-5; 8)$, например $x=0$: $\frac{0-8}{0+5} < 0$. Знак «−».
• При $x \in (-\infty; -5)$, например $x=-6$: $\frac{-6-8}{-6+5} > 0$. Знак «+».

Нам нужны интервалы со знаком «+». Это $(-\infty; -5)$ и $[8; +\infty)$.

Объединение этих интервалов и является областью определения функции.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -5) \cup [8; +\infty)$.

Дана функция $y = (2x^2 - 5x + 2)^{-\frac{1}{6}}$.

Показатель степени $a = -\frac{1}{6}$ является отрицательным нецелым числом. Следовательно, основание степени $(2x^2 - 5x + 2)$ должно быть строго положительным.

Решим неравенство:

$2x^2 - 5x + 2 > 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Графиком функции $y = 2x^2 - 5x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. $a=2 > 0$). Следовательно, квадратный трехчлен принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < \frac{1}{2}$ или $x > 2$.

Область определения функции — это объединение двух интервалов.

Ответ: $D(y) = (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (2; +\infty)$.