Номер 108, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Внесите множитель под знак корня:

1) $a\sqrt{7}$;

2) $a\sqrt{-a}$;

3) $a\sqrt[4]{a^3}$;

4) $2x\sqrt[3]{3x^2}$;

5) $b\sqrt[7]{4b}$;

6) $3x^2\sqrt[3]{\frac{1}{9x^2}};$

7) $m\sqrt[6]{m^4}$, если $m \le 0$;

8) $ab\sqrt[4]{a^2b}$, если $a > 0$;

9) $a^5b^3\sqrt[8]{a^6b^{10}}$, если $a < 0, b > 0$.

1) $a\sqrt{7}$
Поскольку корень квадратный (четной степени), результат зависит от знака множителя $a$.
При $a \ge 0$: $a\sqrt{7} = \sqrt{a^2 \cdot 7} = \sqrt{7a^2}$.
При $a < 0$: $a\sqrt{7} = -(-a)\sqrt{7} = -\sqrt{(-a)^2 \cdot 7} = -\sqrt{a^2 \cdot 7} = -\sqrt{7a^2}$.
Ответ: $\sqrt{7a^2}$ при $a \ge 0$; $-\sqrt{7a^2}$ при $a < 0$.

2) $a\sqrt{-a}$
Выражение определено при $-a \ge 0$, то есть $a \le 0$. Так как множитель $a$ неположительный, а корень четной степени, при внесении множителя под корень перед ним ставится знак минус:
$a\sqrt{-a} = -(-a)\sqrt{-a} = -\sqrt{(-a)^2(-a)} = -\sqrt{a^2(-a)} = -\sqrt{-a^3}$.
Ответ: $-\sqrt{-a^3}$.

3) $a\sqrt[4]{a^3}$
Подкоренное выражение $a^3$ должно быть неотрицательным, что выполняется при $a \ge 0$. Множитель $a$ также неотрицателен. Вносим его под корень четной степени ($n=4$), возводя в эту степень:
$a\sqrt[4]{a^3} = \sqrt[4]{a^4 \cdot a^3} = \sqrt[4]{a^{4+3}} = \sqrt[4]{a^7}$.
Ответ: $\sqrt[4]{a^7}$.

4) $2x\sqrt[3]{3x^2}$
Степень корня $n=3$ нечетная, поэтому множитель $2x$ вносится под знак корня возведением в куб независимо от его знака:
$2x\sqrt[3]{3x^2} = \sqrt[3]{(2x)^3 \cdot 3x^2} = \sqrt[3]{8x^3 \cdot 3x^2} = \sqrt[3]{24x^{3+2}} = \sqrt[3]{24x^5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{24x^5}$.

5) $b\sqrt[7]{4b}$
Степень корня $n=7$ нечетная, поэтому множитель $b$ вносится под знак корня возведением в 7-ю степень:
$b\sqrt[7]{4b} = \sqrt[7]{b^7 \cdot 4b} = \sqrt[7]{4b^{7+1}} = \sqrt[7]{4b^8}$.
Ответ: $\sqrt[7]{4b^8}$.

6) $3x^2\sqrt[3]{\frac{1}{9x^2}}$
Степень корня $n=3$ нечетная. Множитель $3x^2$ вносим под корень, возведя в куб. Выражение определено при $x \ne 0$.
$3x^2\sqrt[3]{\frac{1}{9x^2}} = \sqrt[3]{(3x^2)^3 \cdot \frac{1}{9x^2}} = \sqrt[3]{27x^6 \cdot \frac{1}{9x^2}} = \sqrt[3]{\frac{27x^6}{9x^2}} = \sqrt[3]{3x^4}$.
Ответ: $\sqrt[3]{3x^4}$.

7) $m\sqrt[6]{m^4}$, если $m \le 0$
Степень корня $n=6$ четная, а множитель по условию $m \le 0$. При внесении отрицательного множителя под корень четной степени перед корнем ставится знак минус:
$m\sqrt[6]{m^4} = -(-m)\sqrt[6]{m^4} = -\sqrt[6]{(-m)^6 \cdot m^4} = -\sqrt[6]{m^6 \cdot m^4} = -\sqrt[6]{m^{10}}$.
Ответ: $-\sqrt[6]{m^{10}}$.

8) $ab\sqrt[4]{a^2b}$, если $a > 0$
Подкоренное выражение $a^2b \ge 0$. Так как по условию $a > 0$, то $a^2 > 0$, откуда следует, что $b \ge 0$.
Множитель $ab$ является произведением положительного ($a>0$) и неотрицательного ($b \ge 0$) чисел, следовательно, $ab \ge 0$.
Вносим неотрицательный множитель под корень четной степени ($n=4$):
$ab\sqrt[4]{a^2b} = \sqrt[4]{(ab)^4 \cdot a^2b} = \sqrt[4]{a^4b^4 \cdot a^2b} = \sqrt[4]{a^{4+2}b^{4+1}} = \sqrt[4]{a^6b^5}$.
Ответ: $\sqrt[4]{a^6b^5}$.

9) $a^5b^3\sqrt[8]{a^6b^{10}}$, если $a < 0, b > 0$
Степень корня $n=8$ четная. Определим знак множителя $a^5b^3$.
Так как $a < 0$, то $a^5 < 0$. Так как $b > 0$, то $b^3 > 0$.
Произведение $a^5b^3$ отрицательно. При внесении отрицательного множителя под корень четной степени перед корнем ставится знак минус:
$a^5b^3\sqrt[8]{a^6b^{10}} = -( -(a^5b^3) )\sqrt[8]{a^6b^{10}} = -\sqrt[8]{(-(a^5b^3))^8 \cdot a^6b^{10}}$.
Вычисляем степень множителя: $(-(a^5b^3))^8 = a^{40}b^{24}$.
Подставляем обратно: $-\sqrt[8]{a^{40}b^{24} \cdot a^6b^{10}} = -\sqrt[8]{a^{40+6}b^{24+10}} = -\sqrt[8]{a^{46}b^{34}}$.
Ответ: $-\sqrt[8]{a^{46}b^{34}}$.