Номер 107, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{48x^{16}};$

2) $\sqrt[4]{x^{17}};$

3) $\sqrt[5]{-b^{12}};$

4) $\sqrt[4]{x^{18}y^{7}};$

5) $\sqrt[4]{810a^{26}b^{17}};$

6) $\sqrt[3]{128m^{13}n^{8}};$

7) $\sqrt[4]{-625a^{15}};$

8) $\sqrt[6]{x^{14}y^{17}};$

9) $\sqrt[12]{a^{13}b^{13}}$, если $a \leq 0;

10) $\sqrt[8]{m^{10}n^{9}}$, если $m \leq 0;

11) $\sqrt[4]{x^{23}y^{18}z^{36}}$, если $z < 0;

12) $\sqrt[6]{-m^{49}n^{20}}$, если $n \geq 0$.

1)

Чтобы вынести множитель из-под знака корня $\sqrt{48x^{16}}$, разложим подкоренное выражение на множители. Представим число 48 в виде произведения $16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3$. Степень $x^{16}$ можно записать как $(x^8)^2$.

$\sqrt{48x^{16}} = \sqrt{16 \cdot 3 \cdot x^{16}} = \sqrt{4^2 \cdot (x^8)^2 \cdot 3}$

Используя свойство корня $\sqrt{abc} = \sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}$ и правило извлечения корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, получаем:

$\sqrt{4^2} \cdot \sqrt{(x^8)^2} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot |x^8| \cdot \sqrt{3}$

Поскольку $x^8$ всегда является неотрицательным числом (любое число в четной степени), то $|x^8| = x^8$.

Ответ: $4x^8\sqrt{3}$.

2)

В выражении $\sqrt[4]{x^{17}}$ представим $x^{17}$ в виде произведения $x^{16} \cdot x$. Показатель 16 кратен показателю корня 4.

$\sqrt[4]{x^{17}} = \sqrt[4]{x^{16} \cdot x} = \sqrt[4]{(x^4)^4 \cdot x}$

Выносим множитель из-под знака корня:

$\sqrt[4]{(x^4)^4} \cdot \sqrt[4]{x} = |x^4|\sqrt[4]{x}$

Выражение $x^4$ всегда неотрицательно, поэтому $|x^4| = x^4$. Также следует отметить, что исходное выражение $\sqrt[4]{x^{17}}$ определено только при $x^{17} \ge 0$, то есть при $x \ge 0$.

Ответ: $x^4\sqrt[4]{x}$.

3)

В выражении $\sqrt[5]{-b^{12}}$ показатель корня нечетный, поэтому можно вынести знак "минус":

$\sqrt[5]{-b^{12}} = -\sqrt[5]{b^{12}}$

Представим $b^{12}$ как $b^{10} \cdot b^2$, где показатель 10 кратен 5.

$-\sqrt[5]{b^{12}} = -\sqrt[5]{b^{10} \cdot b^2} = -\sqrt[5]{(b^2)^5 \cdot b^2}$

Поскольку корень нечетной степени, $\sqrt[n]{a^n} = a$, получаем:

$-\sqrt[5]{(b^2)^5} \cdot \sqrt[5]{b^2} = -b^2\sqrt[5]{b^2}$

Ответ: $-b^2\sqrt[5]{b^2}$.

4)

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{x^{18}y^7}$. Так как корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^{18}y^7 \ge 0$. Поскольку $x^{18} \ge 0$ для любого $x$, это условие выполняется при $y^7 \ge 0$, то есть $y \ge 0$.

Разложим степени на множители с показателями, кратными 4: $x^{18} = x^{16} \cdot x^2 = (x^4)^4 \cdot x^2$ $y^7 = y^4 \cdot y^3$

$\sqrt[4]{x^{18}y^7} = \sqrt[4]{x^{16} \cdot x^2 \cdot y^4 \cdot y^3} = \sqrt[4]{(x^4)^4 \cdot y^4 \cdot x^2y^3}$

Выносим множители:

$\sqrt[4]{(x^4)^4} \cdot \sqrt[4]{y^4} \cdot \sqrt[4]{x^2y^3} = |x^4| \cdot |y| \cdot \sqrt[4]{x^2y^3}$

Так как $x^4 \ge 0$, то $|x^4| = x^4$. Поскольку мы установили, что $y \ge 0$, то $|y| = y$.

Ответ: $x^4y\sqrt[4]{x^2y^3}$.

5)

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{810a^{26}b^{17}}$. Условие существования корня: $810a^{26}b^{17} \ge 0$. Так как $a^{26} \ge 0$, то $b^{17} \ge 0$, что означает $b \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение на множители: $810 = 81 \cdot 10 = 3^4 \cdot 10$ $a^{26} = a^{24} \cdot a^2 = (a^6)^4 \cdot a^2$ $b^{17} = b^{16} \cdot b = (b^4)^4 \cdot b$

$\sqrt[4]{810a^{26}b^{17}} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 10 \cdot (a^6)^4 \cdot a^2 \cdot (b^4)^4 \cdot b} = \sqrt[4]{3^4(a^6)^4(b^4)^4 \cdot 10a^2b}$

Выносим множители:

$|3| \cdot |a^6| \cdot |b^4| \cdot \sqrt[4]{10a^2b} = 3a^6b^4\sqrt[4]{10a^2b}$ (поскольку $a^6 \ge 0$ и $b^4 \ge 0$)

Ответ: $3a^6b^4\sqrt[4]{10a^2b}$.

6)

В выражении $\sqrt[3]{128m^{13}n^8}$ корень нечетной степени, поэтому выражение определено для любых $m$ и $n$.

Разложим подкоренное выражение: $128 = 64 \cdot 2 = 4^3 \cdot 2$ $m^{13} = m^{12} \cdot m = (m^4)^3 \cdot m$ $n^8 = n^6 \cdot n^2 = (n^2)^3 \cdot n^2$

$\sqrt[3]{128m^{13}n^8} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 2 \cdot (m^4)^3 \cdot m \cdot (n^2)^3 \cdot n^2} = \sqrt[3]{4^3(m^4)^3(n^2)^3 \cdot 2mn^2}$

Выносим множители (для нечетной степени модуль не нужен):

$4 \cdot m^4 \cdot n^2 \cdot \sqrt[3]{2mn^2}$

Ответ: $4m^4n^2\sqrt[3]{2mn^2}$.

7)

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{-625a^{15}}$. Так как корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-625a^{15} \ge 0$. Это означает, что $a^{15} \le 0$, и, следовательно, $a \le 0$.

Разложим подкоренное выражение. Учитывая, что $a \le 0$, имеем $-a \ge 0$. $-625a^{15} = 625 \cdot (-a^{15}) = 5^4 \cdot (-a) \cdot a^{14} = 5^4 \cdot (-a) \cdot ((-a)^2)^7...$ Удобнее представить $-a^{15}$ как $(-a)^{15}$. Действительно, $(-a)^{15} = (-1)^{15}a^{15} = -a^{15}$.

$\sqrt[4]{-625a^{15}} = \sqrt[4]{625 \cdot (-a^{15})} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (-a)^{15}} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (-a)^{12} \cdot (-a)^3} = \sqrt[4]{5^4 \cdot ((-a)^3)^4 \cdot (-a)^3}$

Выносим множители:

$|5| \cdot |(-a)^3| \cdot \sqrt[4]{(-a)^3}$

Так как $a \le 0$, то $-a \ge 0$, и $(-a)^3 \ge 0$. Поэтому $|(-a)^3| = (-a)^3 = -a^3$.

$5(-a^3)\sqrt[4]{-a^3} = -5a^3\sqrt[4]{-a^3}$

Ответ: $-5a^3\sqrt[4]{-a^3}$.

8)

Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{x^{14}y^{17}}$. Условие существования корня: $x^{14}y^{17} \ge 0$. Так как $x^{14} \ge 0$, то $y^{17} \ge 0$, что означает $y \ge 0$.

Разложим степени на множители с показателями, кратными 6: $x^{14} = x^{12} \cdot x^2 = (x^2)^6 \cdot x^2$ $y^{17} = y^{12} \cdot y^5 = (y^2)^6 \cdot y^5$

$\sqrt[6]{x^{14}y^{17}} = \sqrt[6]{(x^2)^6 \cdot x^2 \cdot (y^2)^6 \cdot y^5} = \sqrt[6]{(x^2)^6(y^2)^6 \cdot x^2y^5}$

Выносим множители:

$|x^2| \cdot |y^2| \cdot \sqrt[6]{x^2y^5} = x^2y^2\sqrt[6]{x^2y^5}$ (поскольку $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$)

Ответ: $x^2y^2\sqrt[6]{x^2y^5}$.

9)

Рассмотрим выражение $\sqrt[12]{a^{13}b^{13}}$, если $a \le 0$. Условие существования корня: $a^{13}b^{13} \ge 0$, или $(ab)^{13} \ge 0$, что означает $ab \ge 0$.

Поскольку дано $a \le 0$ и мы вывели $ab \ge 0$, то должно выполняться и $b \le 0$.

Преобразуем выражение:

$\sqrt[12]{a^{13}b^{13}} = \sqrt[12]{a^{12} \cdot a \cdot b^{12} \cdot b} = \sqrt[12]{a^{12}b^{12} \cdot ab}$

Выносим множители:

$\sqrt[12]{a^{12}} \cdot \sqrt[12]{b^{12}} \cdot \sqrt[12]{ab} = |a| \cdot |b| \cdot \sqrt[12]{ab}$

Используя условия $a \le 0$ и $b \le 0$, раскрываем модули: $|a| = -a$, $|b| = -b$.

$(-a)(-b)\sqrt[12]{ab} = ab\sqrt[12]{ab}$

Ответ: $ab\sqrt[12]{ab}$.

10)

Рассмотрим выражение $\sqrt[8]{m^{10}n^9}$, если $m \le 0$. Условие существования корня: $m^{10}n^9 \ge 0$. Так как $m^{10} \ge 0$, то $n^9 \ge 0$, что означает $n \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение: $m^{10} = m^8 \cdot m^2$ $n^9 = n^8 \cdot n$

$\sqrt[8]{m^{10}n^9} = \sqrt[8]{m^8 \cdot m^2 \cdot n^8 \cdot n} = \sqrt[8]{m^8n^8 \cdot m^2n}$

Выносим множители:

$\sqrt[8]{m^8} \cdot \sqrt[8]{n^8} \cdot \sqrt[8]{m^2n} = |m| \cdot |n| \cdot \sqrt[8]{m^2n}$

Используя условие $m \le 0$ и выведенное $n \ge 0$, раскрываем модули: $|m| = -m$, $|n| = n$.

$(-m)(n)\sqrt[8]{m^2n} = -mn\sqrt[8]{m^2n}$

Ответ: $-mn\sqrt[8]{m^2n}$.

11)

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{x^{23}y^{18}z^{36}}$, если $z < 0$. Условие существования корня: $x^{23}y^{18}z^{36} \ge 0$. Так как $y^{18} \ge 0$ и $z^{36} \ge 0$, то $x^{23} \ge 0$, что означает $x \ge 0$.

Разложим степени на множители с показателями, кратными 4: $x^{23} = x^{20} \cdot x^3 = (x^5)^4 \cdot x^3$ $y^{18} = y^{16} \cdot y^2 = (y^4)^4 \cdot y^2$ $z^{36} = (z^9)^4$

$\sqrt[4]{x^{23}y^{18}z^{36}} = \sqrt[4]{(x^5)^4(y^4)^4(z^9)^4 \cdot x^3y^2}$

Выносим множители:

$|x^5| \cdot |y^4| \cdot |z^9| \cdot \sqrt[4]{x^3y^2}$

Раскрываем модули: - Так как $x \ge 0$, то $x^5 \ge 0$, и $|x^5| = x^5$. - Так как $y^4 \ge 0$ для любого $y$, то $|y^4| = y^4$. - Так как $z < 0$, то $z^9 < 0$, и $|z^9| = -z^9$.

$(x^5)(y^4)(-z^9)\sqrt[4]{x^3y^2} = -x^5y^4z^9\sqrt[4]{x^3y^2}$

Ответ: $-x^5y^4z^9\sqrt[4]{x^3y^2}$.

12)

Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{-m^{49}n^{20}}$, если $n \ge 0$. Условие существования корня: $-m^{49}n^{20} \ge 0$. Так как $n \ge 0$, то $n^{20} \ge 0$. Следовательно, $-m^{49} \ge 0$, что означает $m^{49} \le 0$, и, следовательно, $m \le 0$.

Разложим подкоренное выражение. Учитывая, что $m \le 0$, множитель $(-m)$ будет неотрицательным. $-m^{49}n^{20} = (-m) \cdot m^{48} \cdot n^{20}$ $m^{48} = (m^8)^6$ $n^{20} = n^{18} \cdot n^2 = (n^3)^6 \cdot n^2$

$\sqrt[6]{-m^{49}n^{20}} = \sqrt[6]{m^{48}n^{18} \cdot (-m)n^2} = \sqrt[6]{(m^8)^6 (n^3)^6 \cdot (-mn^2)}$

Выносим множители:

$|m^8| \cdot |n^3| \cdot \sqrt[6]{-mn^2}$

Раскрываем модули: - Так как $m^8 \ge 0$ для любого $m$, то $|m^8| = m^8$. - Так как $n \ge 0$, то $n^3 \ge 0$, и $|n^3| = n^3$.

$m^8n^3\sqrt[6]{-mn^2}$

Ответ: $m^8n^3\sqrt[6]{-mn^2}$.