Номер 106, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}$;

2) $\frac{10}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt[3]{2}-1} $, необходимо домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. В данном случае мы используем формулу разности кубов: $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $.

Знаменатель дроби представляет собой выражение вида $ a-b $, где $ a = \sqrt[3]{2} $ и $ b = 1 $.

Сопряженным выражением будет неполный квадрат суммы $ a^2+ab+b^2 $, который равен $ (\sqrt[3]{2})^2 + \sqrt[3]{2} \cdot 1 + 1^2 = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1 $.

Выполним умножение:

$ \frac{1}{\sqrt[3]{2}-1} = \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1)}{(\sqrt[3]{2}-1)(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1)} $

В знаменателе получим разность кубов:

$ (\sqrt[3]{2}-1)(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1) = (\sqrt[3]{2})^3 - 1^3 = 2-1=1 $

Таким образом, выражение упрощается до:

$ \frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}{1} = \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1 $

Ответ: $ \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1 $.

2) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{10}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1} $, мы также воспользуемся формулой разности кубов: $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $.

Заметим, что знаменатель можно представить в виде $ (\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} \cdot 1 + 1^2 $. Это неполный квадрат суммы, то есть выражение вида $ a^2+ab+b^2 $, где $ a = \sqrt[3]{3} $ и $ b = 1 $.

Чтобы получить в знаменателе разность кубов, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ a-b $, которое равно $ \sqrt[3]{3}-1 $.

Выполним умножение:

$ \frac{10}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1} = \frac{10 \cdot (\sqrt[3]{3}-1)}{(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1)(\sqrt[3]{3}-1)} $

В знаменателе получим разность кубов:

$ ((\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} \cdot 1 + 1^2)(\sqrt[3]{3}-1) = (\sqrt[3]{3})^3 - 1^3 = 3-1=2 $

Подставим результат в наше выражение:

$ \frac{10(\sqrt[3]{3}-1)}{2} = 5(\sqrt[3]{3}-1) $

Ответ: $ 5(\sqrt[3]{3}-1) $.