Номер 112, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

112. Найдите значение выражения:

1) $16^\frac{1}{2}$;

2) $8^{-\frac{2}{3}}$;

3) $0,0016^{-0,5}$;

4) $32^{0,4}$;

5) $\left(11\frac{1}{9}\right)^{2,5}$.

1) Для вычисления значения выражения $16^{\frac{1}{2}}$ воспользуемся определением степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В нашем случае $m=1, n=2$.
$16^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{16^1} = \sqrt{16} = 4$.
Альтернативный способ — представить основание степени в виде квадрата другого числа. Так как $16 = 4^2$, то:
$16^{\frac{1}{2}} = (4^2)^{\frac{1}{2}}$.
По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(4^2)^{\frac{1}{2}} = 4^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4^1 = 4$.
Ответ: 4.

2) Для вычисления $8^{-\frac{2}{3}}$ используем свойства степеней. Сначала представим основание 8 в виде степени числа 2: $8=2^3$.
$8^{-\frac{2}{3}} = (2^3)^{-\frac{2}{3}}$.
При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 2^{-2}$.
Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на ту же степень с положительным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) Чтобы найти значение выражения $0,0016^{-0,5}$, преобразуем десятичные дроби в обыкновенные.
$0,0016 = \frac{16}{10000}$.
$-0,5 = -\frac{1}{2}$.
Выражение принимает вид: $(\frac{16}{10000})^{-\frac{1}{2}}$.
Используем свойство отрицательной степени для дроби $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{16}{10000})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{10000}{16})^{\frac{1}{2}}$.
Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня:
$(\frac{10000}{16})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{10000}{16}} = \frac{\sqrt{10000}}{\sqrt{16}} = \frac{100}{4} = 25$.
Ответ: 25.

4) Для вычисления $32^{0,4}$ представим показатель степени в виде обыкновенной дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Теперь выражение выглядит как $32^{\frac{2}{5}}$.
Представим основание 32 в виде степени числа 2: $32 = 2^5$.
$32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}}$.
Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{2}{5}} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4.

5) Чтобы найти значение выражения $(11\frac{1}{9})^{2,5}$, преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби.
$11\frac{1}{9} = \frac{11 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{100}{9}$.
$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.
Выражение принимает вид: $(\frac{100}{9})^{\frac{5}{2}}$.
Мы можем представить основание $\frac{100}{9}$ как квадрат дроби $(\frac{10}{3})^2$:
$(\frac{100}{9})^{\frac{5}{2}} = ((\frac{10}{3})^2)^{\frac{5}{2}}$.
По свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ перемножаем показатели:
$((\frac{10}{3})^2)^{\frac{5}{2}} = (\frac{10}{3})^{2 \cdot \frac{5}{2}} = (\frac{10}{3})^5$.
Теперь возводим дробь в пятую степень:
$(\frac{10}{3})^5 = \frac{10^5}{3^5} = \frac{100000}{243}$.
Можно выделить целую часть: $100000 \div 243 = 411$ и остаток $127$. Таким образом, результат равен $411\frac{127}{243}$.
Ответ: $\frac{100000}{243}$.