Номер 105, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. Сократите дробь:

1) $\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

2) $\frac{\sqrt[6]{m}+\sqrt[6]{n}}{\sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n}}$

3) $\frac{\sqrt{x}-9}{\sqrt[4]{x}+3}$

4) $\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{x+\sqrt[6]{x^5}}$

5) $\frac{\sqrt[8]{8a^5}-\sqrt[8]{32a^3}}{\sqrt[8]{2a^5}-\sqrt[8]{32a}}$

6) $\frac{x+64}{\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16}$

7) $\frac{x-\sqrt{3x}+3}{x\sqrt{x}+3\sqrt{3}}$

1) $\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Представим числитель $a-b$ как разность квадратов, используя то, что $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$. $a-b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$. Теперь подставим это выражение в исходную дробь: $\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$. Сократим общий множитель $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ в числителе и знаменателе. Область определения выражения $a \ge 0, b \ge 0$, и чтобы знаменатель не был равен нулю, $a$ и $b$ не могут быть одновременно равны нулю. В этой области $(\sqrt{a}+\sqrt{b}) > 0$, поэтому сокращение корректно. В результате получаем: $\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

Ответ: $\sqrt{a}-\sqrt{b}$

2) $\frac{\sqrt[6]{m}+\sqrt[6]{n}}{\sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n}}$

Приведем все корни к одному показателю 6. Для этого воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a^k} = (\sqrt[n]{a})^k$ и тем, что $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$. $\sqrt[3]{m} = \sqrt[6]{m^2} = (\sqrt[6]{m})^2$. $\sqrt[3]{n} = \sqrt[6]{n^2} = (\sqrt[6]{n})^2$. Подставим эти выражения в знаменатель дроби: $\frac{\sqrt[6]{m}+\sqrt[6]{n}}{(\sqrt[6]{m})^2 - (\sqrt[6]{n})^2}$. Знаменатель представляет собой разность квадратов. Разложим его по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $(\sqrt[6]{m})^2 - (\sqrt[6]{n})^2 = (\sqrt[6]{m}-\sqrt[6]{n})(\sqrt[6]{m}+\sqrt[6]{n})$. Подставим разложенный знаменатель обратно в дробь: $\frac{\sqrt[6]{m}+\sqrt[6]{n}}{(\sqrt[6]{m}-\sqrt[6]{n})(\sqrt[6]{m}+\sqrt[6]{n})}$. Сократим общий множитель $(\sqrt[6]{m}+\sqrt[6]{n})$. Это возможно при $m \ge 0, n \ge 0$ и $m \ne n$. В результате получаем: $\frac{1}{\sqrt[6]{m}-\sqrt[6]{n}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{m}-\sqrt[6]{n}}$

3) $\frac{\sqrt{x}-9}{\sqrt[4]{x}+3}$

Представим числитель в виде разности квадратов, заметив, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$ и $9 = 3^2$. $\sqrt{x}-9 = (\sqrt[4]{x})^2 - 3^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $(\sqrt[4]{x})^2 - 3^2 = (\sqrt[4]{x}-3)(\sqrt[4]{x}+3)$. Подставим это выражение в исходную дробь: $\frac{(\sqrt[4]{x}-3)(\sqrt[4]{x}+3)}{\sqrt[4]{x}+3}$. Сократим общий множитель $(\sqrt[4]{x}+3)$. Так как $\sqrt[4]{x} \ge 0$ при $x \ge 0$, то знаменатель $\sqrt[4]{x}+3 \ge 3$ и никогда не равен нулю. Сокращение корректно. В результате получаем: $\sqrt[4]{x}-3$.

Ответ: $\sqrt[4]{x}-3$

4) $\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{x+\sqrt[6]{x^5}}$

Приведем все степени к одному основанию $\sqrt[6]{x}$. $\sqrt[3]{x} = \sqrt[6]{x^2} = (\sqrt[6]{x})^2$. $x = (\sqrt[6]{x})^6$. $\sqrt[6]{x^5} = (\sqrt[6]{x})^5$. Подставим эти выражения в дробь: $\frac{(\sqrt[6]{x})^2+\sqrt[6]{x}}{(\sqrt[6]{x})^6+(\sqrt[6]{x})^5}$. Введем замену $y = \sqrt[6]{x}$, чтобы упростить выражение: $\frac{y^2+y}{y^6+y^5}$. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе: $\frac{y(y+1)}{y^5(y+1)}$. Сократим общие множители $y$ и $(y+1)$. Это возможно при $x>0$, тогда $y = \sqrt[6]{x} > 0$ и $y+1 > 1$. После сокращения получаем $\frac{1}{y^4}$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$: $\frac{1}{(\sqrt[6]{x})^4} = \frac{1}{\sqrt[6]{x^4}}$. Упростим показатель корня и степень подкоренного выражения, разделив их на 2: $\frac{1}{\sqrt[6/2]{x^{4/2}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$

5) $\frac{\sqrt[8]{8a^5}-\sqrt[8]{32a^3}}{\sqrt[8]{2a^5}-\sqrt[8]{32a}}$

Разложим числа под корнями на простые множители: $8=2^3$, $32=2^5$. $\frac{\sqrt[8]{2^3a^5}-\sqrt[8]{2^5a^3}}{\sqrt[8]{2a^5}-\sqrt[8]{2^5a}}$. Вынесем общие множители из-под знака корня в числителе и знаменателе. В числителе общий множитель $\sqrt[8]{2^3a^3}$: $\sqrt[8]{2^3a^3(a^2)} - \sqrt[8]{2^3a^3(2^2)} = \sqrt[8]{8a^3}(\sqrt[8]{a^2}-\sqrt[8]{2^2}) = \sqrt[8]{8a^3}(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{2})$. В знаменателе общий множитель $\sqrt[8]{2a}$: $\sqrt[8]{2a(a^4)} - \sqrt[8]{2a(2^4)} = \sqrt[8]{2a}(\sqrt[8]{a^4}-\sqrt[8]{2^4}) = \sqrt[8]{2a}(\sqrt{a}-\sqrt{2})$. Подставим эти выражения в дробь: $\frac{\sqrt[8]{8a^3}(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{2})}{\sqrt[8]{2a}(\sqrt{a}-\sqrt{2})}$. Разложим выражение $(\sqrt{a}-\sqrt{2})$ в знаменателе как разность квадратов: $\sqrt{a}-\sqrt{2} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{2})^2 = (\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{2})$. Получаем: $\frac{\sqrt[8]{8a^3}(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{2})}{\sqrt[8]{2a}(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{2})}$. Сократим общий множитель $(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{2})$ при $a \neq 2$: $\frac{\sqrt[8]{8a^3}}{\sqrt[8]{2a}(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{2})}$. Упростим частное корней: $\frac{\sqrt[8]{8a^3}}{\sqrt[8]{2a}} = \sqrt[8]{\frac{8a^3}{2a}} = \sqrt[8]{4a^2} = \sqrt[8]{(2a)^2} = \sqrt[4]{2a}$. Итоговое выражение: $\frac{\sqrt[4]{2a}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{2}}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{2a}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{2}}$

6) $\frac{x+64}{\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16}$

Заметим, что данное выражение похоже на формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b=4$. Тогда числитель $x+64 = (\sqrt[3]{x})^3 + 4^3 = a^3+b^3$. Знаменатель $\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16 = (\sqrt[3]{x})^2 - 4\sqrt[3]{x} + 4^2 = a^2 - ab + b^2$. Применим формулу суммы кубов для разложения числителя: $x+64 = (\sqrt[3]{x}+4)(\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16)$. Подставим это в дробь: $\frac{(\sqrt[3]{x}+4)(\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16)}{\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16}$. Сократим общий множитель $(\sqrt[3]{x^2}-4\sqrt[3]{x}+16)$. Знаменатель является неполным квадратом разности, и для выражения $t^2-4t+16$ дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0$, поэтому знаменатель никогда не равен нулю. Сокращение корректно. В результате получаем: $\sqrt[3]{x}+4$.

Ответ: $\sqrt[3]{x}+4$

7) $\frac{x-\sqrt{3x}+3}{x\sqrt{x}+3\sqrt{3}}$

Рассмотрим знаменатель $x\sqrt{x}+3\sqrt{3}$. Его можно представить как сумму кубов. $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2} = (\sqrt{x})^3$. $3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{3/2} = (\sqrt{3})^3$. Значит, знаменатель равен $(\sqrt{x})^3+(\sqrt{3})^3$. Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{3}$. $(\sqrt{x})^3+(\sqrt{3})^3 = (\sqrt{x}+\sqrt{3})((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = (\sqrt{x}+\sqrt{3})(x-\sqrt{3x}+3)$. Подставим разложенный знаменатель в дробь: $\frac{x-\sqrt{3x}+3}{(\sqrt{x}+\sqrt{3})(x-\sqrt{3x}+3)}$. Сократим общий множитель $(x-\sqrt{3x}+3)$. Выражение в числителе является неполным квадратом разности и всегда положительно, так как для квадратного уравнения $t^2 - \sqrt{3}t + 3 = 0$ (где $t=\sqrt{x}$) дискриминант $D = (-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 3 - 12 = -9 < 0$. Поэтому сокращение корректно. В результате получаем: $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}$