Номер 98, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. При каких значениях x выполняется равенство:

1) $\sqrt[16]{64 - x^2} = \sqrt[16]{8 - x} \cdot \sqrt[16]{8 + x}$;

2) $\sqrt[18]{(x - 1)(x - 6)} = \sqrt[18]{1 - x} \cdot \sqrt[18]{6 - x}$;

3) $\sqrt[15]{(x - 9)(x + 12)} = \sqrt[15]{x - 9} \cdot \sqrt[15]{x + 12}?$

Равенство вида $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ выполняется при определенных условиях, которые зависят от четности показателя корня $n$.

1) $\sqrt[16]{64 - x^2} = \sqrt[16]{8 - x} \cdot \sqrt[16]{8 + x}$

Показатель корня $n=16$ является четным числом. Свойство корня $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ для четного $n$ справедливо только в том случае, когда оба сомножителя $a$ и $b$ неотрицательны. В данном случае левая часть равенства $\sqrt[16]{64 - x^2}$ может быть представлена как $\sqrt[16]{(8 - x)(8 + x)}$. Для того чтобы правая часть равенства была определена и равенство выполнялось, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны:
$\begin{cases} 8 - x \ge 0 \\ 8 + x \ge 0 \end{cases}$
Решим эту систему неравенств:
$\begin{cases} x \le 8 \\ x \ge -8 \end{cases}$
Объединяя эти условия, получаем, что $x$ должен находиться в промежутке $[-8, 8]$.
Ответ: $x \in [-8, 8]$.

2) $\sqrt[18]{(x - 1)(x - 6)} = \sqrt[18]{1 - x} \cdot \sqrt[18]{6 - x}$

Показатель корня $n=18$ является четным числом. Заметим, что подкоренное выражение в левой части можно преобразовать:
$(x - 1)(x - 6) = (-(1 - x)) \cdot (-(6 - x)) = (1 - x)(6 - x)$.
Таким образом, исходное равенство эквивалентно $\sqrt[18]{(1 - x)(6 - x)} = \sqrt[18]{1 - x} \cdot \sqrt[18]{6 - x}$.
Как и в предыдущем случае, для четного показателя корня равенство выполняется, когда оба множителя под корнями в правой части неотрицательны:
$\begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases}$
Решим систему:
$\begin{cases} x \le 1 \\ x \le 6 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $x \le 1$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.

3) $\sqrt[15]{(x - 9)(x + 12)} = \sqrt[15]{x - 9} \cdot \sqrt[15]{x + 12}$

Показатель корня $n=15$ является нечетным числом. Для нечетного показателя корня свойство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ является тождеством и выполняется для любых действительных чисел $a$ и $b$, для которых выражения определены.
Подкоренные выражения являются многочленами, которые определены для любых действительных значений $x$. Следовательно, данное равенство выполняется при любом значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.