Номер 97, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

97. Сравните:

1) $\sqrt{3}$ и $\sqrt[5]{16}$;

2) $\sqrt[18]{19}$ и $\sqrt[12]{7}$;

3) $\sqrt[9]{6}$ и $\sqrt[12]{7\sqrt[3]{5}}$.

1) Сравнить $\sqrt{3}$ и $\sqrt[5]{16}$.

Чтобы сравнить корни с разными показателями, приведем их к общему показателю. Показатели корней равны 2 (у квадратного корня) и 5. Наименьшее общее кратное (НОК) для 2 и 5 равно 10. Приведем оба корня к показателю 10.

Для первого числа: $\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{10}} = \sqrt[10]{3^5}$.

Вычислим подкоренное выражение: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

Таким образом, $\sqrt{3} = \sqrt[10]{243}$.

Для второго числа: $\sqrt[5]{16} = 16^{\frac{1}{5}} = 16^{\frac{2}{10}} = \sqrt[10]{16^2}$.

Вычислим подкоренное выражение: $16^2 = 256$.

Таким образом, $\sqrt[5]{16} = \sqrt[10]{256}$.

Теперь сравним полученные выражения: $\sqrt[10]{243}$ и $\sqrt[10]{256}$. Так как показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения: $243 < 256$.

Следовательно, $\sqrt[10]{243} < \sqrt[10]{256}$, а значит, $\sqrt{3} < \sqrt[5]{16}$.

Ответ: $\sqrt{3} < \sqrt[5]{16}$.

2) Сравнить $\sqrt[18]{19}$ и $\sqrt[12]{7}$.

Приведем корни к общему показателю. Показатели корней равны 18 и 12. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для 18 и 12.

$18 = 2 \cdot 3^2$

$12 = 2^2 \cdot 3$

НОК(18, 12) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Приведем оба корня к показателю 36.

Для первого числа: $\sqrt[18]{19} = 19^{\frac{1}{18}} = 19^{\frac{2}{36}} = \sqrt[36]{19^2}$.

Вычислим подкоренное выражение: $19^2 = 361$.

Таким образом, $\sqrt[18]{19} = \sqrt[36]{361}$.

Для второго числа: $\sqrt[12]{7} = 7^{\frac{1}{12}} = 7^{\frac{3}{36}} = \sqrt[36]{7^3}$.

Вычислим подкоренное выражение: $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.

Таким образом, $\sqrt[12]{7} = \sqrt[36]{343}$.

Теперь сравним полученные выражения: $\sqrt[36]{361}$ и $\sqrt[36]{343}$. Сравниваем подкоренные выражения: $361 > 343$.

Следовательно, $\sqrt[36]{361} > \sqrt[36]{343}$, а значит, $\sqrt[18]{19} > \sqrt[12]{7}$.

Ответ: $\sqrt[18]{19} > \sqrt[12]{7}$.

3) Сравнить $\sqrt[9]{6}$ и $\sqrt[12]{7\sqrt[3]{5}}$.

Сначала упростим второе выражение, внеся множитель под знак корня:

$\sqrt[12]{7\sqrt[3]{5}} = \sqrt[12]{\sqrt[3]{7^3 \cdot 5}} = \sqrt[12]{\sqrt[3]{343 \cdot 5}} = \sqrt[12]{\sqrt[3]{1715}}$.

Используя свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$, получаем:

$\sqrt[12 \cdot 3]{1715} = \sqrt[36]{1715}$.

Теперь задача сводится к сравнению $\sqrt[9]{6}$ и $\sqrt[36]{1715}$.

Приведем корни к общему показателю. Показатели корней равны 9 и 36. Наименьшее общее кратное (НОК) для 9 и 36 равно 36. Первый корень приводим к показателю 36:

$\sqrt[9]{6} = 6^{\frac{1}{9}} = 6^{\frac{4}{36}} = \sqrt[36]{6^4}$.

Вычислим подкоренное выражение: $6^4 = (6^2)^2 = 36^2 = 1296$.

Таким образом, $\sqrt[9]{6} = \sqrt[36]{1296}$.

Второе число уже имеет показатель 36: $\sqrt[36]{1715}$.

Теперь сравним полученные выражения: $\sqrt[36]{1296}$ и $\sqrt[36]{1715}$. Сравниваем подкоренные выражения: $1296 < 1715$.

Следовательно, $\sqrt[36]{1296} < \sqrt[36]{1715}$, а значит, $\sqrt[9]{6} < \sqrt[12]{7\sqrt[3]{5}}$.

Ответ: $\sqrt[9]{6} < \sqrt[12]{7\sqrt[3]{5}}$.