Номер 104, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{20}{\sqrt[3]{5}}$;

2) $\frac{24}{\sqrt[4]{216}}$;

3) $\frac{6}{\sqrt[5]{27}}$;

4) $\frac{c^6}{\sqrt[9]{c^7}}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{20}{\sqrt[3]{5}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на такое выражение, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало кубом некоторого числа. В данном случае, нам нужно получить в знаменателе $\sqrt[3]{5^3}$. Сейчас в знаменателе $\sqrt[3]{5^1}$, поэтому для получения $5^3$ нужно домножить на $5^2$. Следовательно, домножаем числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$.

$\frac{20}{\sqrt[3]{5}} = \frac{20 \cdot \sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5^2}} = \frac{20\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5 \cdot 25}} = \frac{20\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{20\sqrt[3]{25}}{5}$

Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{20\sqrt[3]{25}}{5} = 4\sqrt[3]{25}$

Ответ: $4\sqrt[3]{25}$

2) Рассмотрим дробь $\frac{24}{\sqrt[4]{216}}$. Сначала представим подкоренное выражение в знаменателе в виде степени. $216 = 6 \cdot 36 = 6 \cdot 6^2 = 6^3$.

Таким образом, дробь имеет вид: $\frac{24}{\sqrt[4]{6^3}}$.

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, нужно получить под корнем четвертой степени выражение $6^4$. Для этого домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[4]{6^{4-3}} = \sqrt[4]{6^1} = \sqrt[4]{6}$.

$\frac{24}{\sqrt[4]{6^3}} = \frac{24 \cdot \sqrt[4]{6}}{\sqrt[4]{6^3} \cdot \sqrt[4]{6}} = \frac{24\sqrt[4]{6}}{\sqrt[4]{6^3 \cdot 6}} = \frac{24\sqrt[4]{6}}{\sqrt[4]{6^4}} = \frac{24\sqrt[4]{6}}{6}$

Сократим полученную дробь на 6:

$\frac{24\sqrt[4]{6}}{6} = 4\sqrt[4]{6}$

Ответ: $4\sqrt[4]{6}$

3) Рассмотрим дробь $\frac{6}{\sqrt[5]{27}}$. Представим подкоренное выражение в виде степени: $27 = 3^3$.

Дробь принимает вид: $\frac{6}{\sqrt[5]{3^3}}$.

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, нужно получить под корнем пятой степени выражение $3^5$. Для этого домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[5]{3^{5-3}} = \sqrt[5]{3^2} = \sqrt[5]{9}$.

$\frac{6}{\sqrt[5]{3^3}} = \frac{6 \cdot \sqrt[5]{9}}{\sqrt[5]{3^3} \cdot \sqrt[5]{9}} = \frac{6\sqrt[5]{9}}{\sqrt[5]{3^3 \cdot 3^2}} = \frac{6\sqrt[5]{9}}{\sqrt[5]{3^5}} = \frac{6\sqrt[5]{9}}{3}$

Сократим полученную дробь на 3:

$\frac{6\sqrt[5]{9}}{3} = 2\sqrt[5]{9}$

Ответ: $2\sqrt[5]{9}$

4) Рассмотрим дробь $\frac{c^6}{\sqrt[9]{c^7}}$. Предполагается, что $c \neq 0$, чтобы знаменатель не был равен нулю.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно получить под корнем девятой степени выражение $c^9$. Для этого домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[9]{c^{9-7}} = \sqrt[9]{c^2}$.

$\frac{c^6}{\sqrt[9]{c^7}} = \frac{c^6 \cdot \sqrt[9]{c^2}}{\sqrt[9]{c^7} \cdot \sqrt[9]{c^2}} = \frac{c^6\sqrt[9]{c^2}}{\sqrt[9]{c^7 \cdot c^2}} = \frac{c^6\sqrt[9]{c^2}}{\sqrt[9]{c^9}} = \frac{c^6\sqrt[9]{c^2}}{c}$

Сократим полученное выражение, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{c^6\sqrt[9]{c^2}}{c} = c^{6-1}\sqrt[9]{c^2} = c^5\sqrt[9]{c^2}$

Ответ: $c^5\sqrt[9]{c^2}$