Номер 103, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[4]{(x+1)^4}$;

2) $y = \sqrt[4]{x^4} - x$;

3) $y = \sqrt[6]{(x-1)^5} \cdot \sqrt[6]{x-1}$;

4) $y = \frac{(x-1)^2}{\sqrt[8]{(x-1)^8}} - 1.$

1) $y = \sqrt[4]{(x+1)^4}$

Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае $2n = 4$.

Таким образом, функция упрощается до $y = |x+1|$.

График этой функции — это график модуля $y = |x|$, сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Вершина графика находится в точке, где выражение под модулем равно нулю, то есть $x+1=0$, откуда $x=-1$. Координаты вершины: $(-1, 0)$.

График состоит из двух лучей:
- луча $y = x+1$ для $x \geq -1$;
- луча $y = -(x+1) = -x-1$ для $x < -1$.

Ответ: График функции представляет собой "уголок" с вершиной в точке $(-1, 0)$, ветви которого направлены вверх. Он состоит из двух лучей: $y = x+1$ при $x \geq -1$ и $y = -x-1$ при $x < -1$.

2) $y = \sqrt[4]{x^4} - x$

Упростим первое слагаемое, используя свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$:

$\sqrt[4]{x^4} = |x|$

Тогда функция принимает вид: $y = |x| - x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x \geq 0$, то $|x|=x$, и функция становится $y = x - x = 0$.

2. Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и функция становится $y = -x - x = -2x$.

Таким образом, график состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 0)$:
- луч $y=0$ (неотрицательная часть оси Ox) при $x \geq 0$;
- луч $y=-2x$ при $x < 0$.

Ответ: График состоит из луча, совпадающего с неотрицательной частью оси абсцисс ($y=0$ при $x \geq 0$), и луча $y=-2x$ при $x < 0$.

3) $y = \sqrt[6]{(x-1)^5} \cdot \sqrt[6]{x-1}$

Найдем область определения функции. Так как корень четной (шестой) степени, подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$(x-1)^5 \geq 0 \implies x-1 \geq 0 \implies x \geq 1$.

И для второго множителя: $x-1 \geq 0 \implies x \geq 1$.

Область определения функции: $D(y) = [1, +\infty)$.

На этой области определения мы можем объединить корни по свойству $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$y = \sqrt[6]{(x-1)^5 \cdot (x-1)} = \sqrt[6]{(x-1)^6}$

Используя свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, получаем $y = |x-1|$.

Так как в области определения $x \geq 1$, то выражение $x-1$ всегда неотрицательно, и следовательно, $|x-1| = x-1$.

Таким образом, функция имеет вид $y = x-1$ при $x \geq 1$.

Ответ: График функции — это луч прямой $y = x-1$, начинающийся в точке $(1, 0)$.

4) $y = \frac{(x-1)^2}{\sqrt[8]{(x-1)^8}} - 1$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$\sqrt[8]{(x-1)^8} \neq 0 \implies (x-1)^8 \neq 0 \implies x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Область определения: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Упростим знаменатель, используя свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$:

$\sqrt[8]{(x-1)^8} = |x-1|$

Функция принимает вид: $y = \frac{(x-1)^2}{|x-1|} - 1$.

Рассмотрим два случая, раскрывая модуль:

1. Если $x > 1$, то $x-1 > 0$, и $|x-1| = x-1$.

$y = \frac{(x-1)^2}{x-1} - 1 = (x-1) - 1 = x-2$.

2. Если $x < 1$, то $x-1 < 0$, и $|x-1| = -(x-1)$.

$y = \frac{(x-1)^2}{-(x-1)} - 1 = -(x-1) - 1 = -x+1-1 = -x$.

График состоит из двух лучей с "выколотой" точкой при $x=1$. Найдем координаты этой точки, подставив $x=1$ в выражения для лучей: $y_{x \to 1^+} = 1-2 = -1$ и $y_{x \to 1^-} = -1$. Координаты выколотой точки — $(1, -1)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из выколотой точки $(1, -1)$: луч прямой $y=-x$ для $x<1$ и луч прямой $y=x-2$ для $x>1$.