Номер 99, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

99. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{x^6}$, если $x \ge 0$;

2) $\sqrt[8]{y^8}$, если $y \le 0$;

3) $\sqrt[7]{a^7}$;

4) $\sqrt[3]{125a^9c^{12}}$;

5) $\sqrt[4]{81x^{16}y^{20}z^4}$, если $y \le 0, z \ge 0$;

6) $4,5a^2 \sqrt[6]{64a^{18}}$, если $a \le 0$;

7) $\frac{m^7n^6k^5}{\sqrt[8]{m^8n^{16}k^{40}}}$, если $m > 0, k < 0$;

8) $-0,6x^4 \cdot \sqrt[4]{256x^8y^{28}}$, если $y \le 0$.

1) Так как показатель корня (6) является четным числом, то $\sqrt[6]{x^6} = |x|$. По условию $x \ge 0$, следовательно, $|x| = x$.

Ответ: $x$.

2) Так как показатель корня (8) является четным числом, то $\sqrt[8]{y^8} = |y|$. По условию $y \le 0$, следовательно, $|y| = -y$.

Ответ: $-y$.

3) Так как показатель корня (7) является нечетным числом, то $\sqrt[7]{a^7} = a$ для любого действительного числа $a$.

Ответ: $a$.

4) Используем свойство корня из произведения и свойство степени: $\sqrt[3]{125a^9c^{12}} = \sqrt[3]{5^3 \cdot (a^3)^3 \cdot (c^4)^3} = \sqrt[3]{(5a^3c^4)^3}$. Так как показатель корня нечетный, выражение равно $5a^3c^4$.

Ответ: $5a^3c^4$.

5) Преобразуем подкоренное выражение: $\sqrt[4]{81x^{16}y^{20}z^4} = \sqrt[4]{3^4 \cdot (x^4)^4 \cdot (y^5)^4 \cdot z^4}$. Так как корень четной степени, извлекаем модуль каждого множителя: $|3| \cdot |x^4| \cdot |y^5| \cdot |z| = 3x^4|y^5||z|$. Выражение $x^4$ всегда неотрицательно, поэтому $|x^4|=x^4$. По условию $y \le 0$, значит $y^5 \le 0$ и $|y^5| = -y^5$. По условию $z \ge 0$, значит $|z| = z$. Собираем все вместе: $3 \cdot x^4 \cdot (-y^5) \cdot z = -3x^4y^5z$.

Ответ: $-3x^4y^5z$.

6) Упростим выражение под корнем: $4,5a^2\sqrt[6]{64a^{18}} = 4,5a^2\sqrt[6]{2^6(a^3)^6} = 4,5a^2|2a^3| = 4,5a^2 \cdot 2|a^3| = 9a^2|a^3|$. По условию $a \le 0$, следовательно $a^3 \le 0$, и поэтому $|a^3| = -a^3$. Подставляем и получаем: $9a^2(-a^3) = -9a^5$.

Ответ: $-9a^5$.

7) Упростим знаменатель: $\sqrt[8]{m^8n^{16}k^{40}} = \sqrt[8]{m^8 \cdot (n^2)^8 \cdot (k^5)^8} = |m||n^2||k^5|$. Учитывая условия $m > 0$ и $k < 0$, а также то, что $n^2$ всегда неотрицательно, раскрываем модули: $|m|=m$, $|n^2|=n^2$, $|k^5|=-k^5$. Знаменатель равен $m \cdot n^2 \cdot (-k^5) = -mn^2k^5$. Теперь подставим это в исходную дробь: $\frac{m^7n^6k^5}{-mn^2k^5} = -\frac{m^7}{m} \cdot \frac{n^6}{n^2} \cdot \frac{k^5}{k^5} = -m^{6}n^{4}$.

Ответ: $-m^6n^4$.

8) Упростим выражение под корнем: $\sqrt[4]{256x^8y^{28}} = \sqrt[4]{4^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^7)^4} = |4||x^2||y^7|$. Так как $x^2 \ge 0$, то $|x^2|=x^2$. По условию $y \le 0$, значит $y^7 \le 0$, и $|y^7|=-y^7$. Выражение под корнем равно $4x^2(-y^7) = -4x^2y^7$. Теперь умножим на множитель перед корнем: $-0,6x^4 \cdot (-4x^2y^7) = 2,4x^{4+2}y^7 = 2,4x^6y^7$.

Ответ: $2,4x^6y^7$.