Номер 94, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. Упростите выражение:

1) $7\sqrt[3]{-250} - 2\sqrt[3]{54} + 8\sqrt[3]{432};$

2) $4\sqrt[4]{96k} + 5\sqrt[4]{243k} - 3\sqrt[4]{486k} - 6\sqrt[4]{48k}.$

Чтобы упростить выражение $7\sqrt[3]{-250} - 2\sqrt[3]{54} + 8\sqrt[3]{432}$, необходимо вынести множители из-под знака каждого кубического корня.

1. Упростим первый член $7\sqrt[3]{-250}$.
Поскольку корень нечетной степени из отрицательного числа является отрицательным числом, можно вынести минус из-под корня: $\sqrt[3]{-250} = -\sqrt[3]{250}$.
Разложим число 250 на множители так, чтобы один из них был кубом целого числа: $250 = 125 \times 2 = 5^3 \times 2$.
Тогда $\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{5^3 \times 2} = 5\sqrt[3]{2}$.
Следовательно, $7\sqrt[3]{-250} = 7 \times (-5\sqrt[3]{2}) = -35\sqrt[3]{2}$.

2. Упростим второй член $-2\sqrt[3]{54}$.
Разложим число 54 на множители: $54 = 27 \times 2 = 3^3 \times 2$.
Тогда $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \times 2} = 3\sqrt[3]{2}$.
Следовательно, $-2\sqrt[3]{54} = -2 \times (3\sqrt[3]{2}) = -6\sqrt[3]{2}$.

3. Упростим третий член $8\sqrt[3]{432}$.
Разложим число 432 на множители: $432 = 216 \times 2 = 6^3 \times 2$.
Тогда $\sqrt[3]{432} = \sqrt[3]{6^3 \times 2} = 6\sqrt[3]{2}$.
Следовательно, $8\sqrt[3]{432} = 8 \times (6\sqrt[3]{2}) = 48\sqrt[3]{2}$.

4. Теперь сложим полученные выражения, так как они имеют одинаковый радикал $\sqrt[3]{2}$:
$-35\sqrt[3]{2} - 6\sqrt[3]{2} + 48\sqrt[3]{2} = (-35 - 6 + 48)\sqrt[3]{2} = (-41 + 48)\sqrt[3]{2} = 7\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $7\sqrt[3]{2}$

Упростим выражение $4\sqrt[4]{96k} + 5\sqrt[4]{243k} - 3\sqrt[4]{486k} - 6\sqrt[4]{48k}$, вынеся множители из-под знака корня четвертой степени для каждого слагаемого. Предполагается, что $k \ge 0$, чтобы выражение имело смысл.

1. Упростим первый член $4\sqrt[4]{96k}$.
Разложим число 96 на множители: $96 = 16 \times 6 = 2^4 \times 6$.
Тогда $\sqrt[4]{96k} = \sqrt[4]{2^4 \times 6k} = 2\sqrt[4]{6k}$.
Следовательно, $4\sqrt[4]{96k} = 4 \times 2\sqrt[4]{6k} = 8\sqrt[4]{6k}$.

2. Упростим второй член $5\sqrt[4]{243k}$.
Разложим число 243 на множители: $243 = 81 \times 3 = 3^4 \times 3$.
Тогда $\sqrt[4]{243k} = \sqrt[4]{3^4 \times 3k} = 3\sqrt[4]{3k}$.
Следовательно, $5\sqrt[4]{243k} = 5 \times 3\sqrt[4]{3k} = 15\sqrt[4]{3k}$.

3. Упростим третий член $-3\sqrt[4]{486k}$.
Разложим число 486 на множители: $486 = 81 \times 6 = 3^4 \times 6$.
Тогда $\sqrt[4]{486k} = \sqrt[4]{3^4 \times 6k} = 3\sqrt[4]{6k}$.
Следовательно, $-3\sqrt[4]{486k} = -3 \times 3\sqrt[4]{6k} = -9\sqrt[4]{6k}$.

4. Упростим четвертый член $-6\sqrt[4]{48k}$.
Разложим число 48 на множители: $48 = 16 \times 3 = 2^4 \times 3$.
Тогда $\sqrt[4]{48k} = \sqrt[4]{2^4 \times 3k} = 2\sqrt[4]{3k}$.
Следовательно, $-6\sqrt[4]{48k} = -6 \times 2\sqrt[4]{3k} = -12\sqrt[4]{3k}$.

5. Теперь сложим и сгруппируем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковыми радикалами):
$8\sqrt[4]{6k} + 15\sqrt[4]{3k} - 9\sqrt[4]{6k} - 12\sqrt[4]{3k} = (8\sqrt[4]{6k} - 9\sqrt[4]{6k}) + (15\sqrt[4]{3k} - 12\sqrt[4]{3k})$
$= (8 - 9)\sqrt[4]{6k} + (15 - 12)\sqrt[4]{3k}$
$= -\sqrt[4]{6k} + 3\sqrt[4]{3k}$.

Ответ: $3\sqrt[4]{3k} - \sqrt[4]{6k}$