Номер 101, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. Упростите выражение:

1) $\sqrt[4]{(3-\sqrt{10})^4}$;

2) $\sqrt[5]{(1-7\sqrt{2})^5}$;

3) $\sqrt[8]{(3-5\sqrt{3})^8} + \sqrt[3]{(2-5\sqrt{3})^3}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{(3-\sqrt{10})^4}$ используется свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае показатель корня $4$ является четным числом, поэтому:
$\sqrt[4]{(3-\sqrt{10})^4} = |3-\sqrt{10}|$.
Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения $3-\sqrt{10}$. Для этого сравним числа $3$ и $\sqrt{10}$. Возведем оба числа в квадрат:
$3^2 = 9$
$(\sqrt{10})^2 = 10$
Поскольку $9 < 10$, то $3 < \sqrt{10}$. Следовательно, разность $3-\sqrt{10}$ является отрицательным числом.
По определению модуля, если $a < 0$, то $|a| = -a$. Применяя это правило, получаем:
$|3-\sqrt{10}| = -(3-\sqrt{10}) = -3 + \sqrt{10} = \sqrt{10}-3$.
Ответ: $\sqrt{10}-3$.

2) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{(1-7\sqrt{2})^5}$ используется свойство корня нечетной степени: $\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} = a$.
В данном случае показатель корня $5$ является нечетным числом, поэтому корень извлекается без модуля:
$\sqrt[5]{(1-7\sqrt{2})^5} = 1-7\sqrt{2}$.
Ответ: $1-7\sqrt{2}$.

3) Упростим выражение $\sqrt[8]{(3-5\sqrt{3})^8} + \sqrt[3]{(2-5\sqrt{3})^3}$, разбив его на два слагаемых.
Первое слагаемое: $\sqrt[8]{(3-5\sqrt{3})^8}$.
Показатель корня $8$ — четный, поэтому $\sqrt[8]{a^8} = |a|$.
$\sqrt[8]{(3-5\sqrt{3})^8} = |3-5\sqrt{3}|$.
Определим знак выражения $3-5\sqrt{3}$. Сравним $3$ и $5\sqrt{3}$, возведя их в квадрат:
$3^2 = 9$
$(5\sqrt{3})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$.
Так как $9 < 75$, то $3 < 5\sqrt{3}$, значит, выражение $3-5\sqrt{3}$ отрицательно.
$|3-5\sqrt{3}| = -(3-5\sqrt{3}) = 5\sqrt{3}-3$.
Второе слагаемое: $\sqrt[3]{(2-5\sqrt{3})^3}$.
Показатель корня $3$ — нечетный, поэтому $\sqrt[3]{a^3} = a$.
$\sqrt[3]{(2-5\sqrt{3})^3} = 2-5\sqrt{3}$.
Теперь сложим полученные результаты:
$(5\sqrt{3}-3) + (2-5\sqrt{3}) = 5\sqrt{3} - 3 + 2 - 5\sqrt{3} = (5\sqrt{3} - 5\sqrt{3}) + (-3 + 2) = 0 - 1 = -1$.
Ответ: $-1$.