Номер 95, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

95. Упростите выражение:

1) $\sqrt{5\sqrt[4]{2}}$;

2) $\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}$;

3) $\sqrt[6]{p\sqrt[5]{p}}$;

4) $\sqrt[4]{a^3\sqrt[3]{a^7}}$.

1) $\sqrt{5\sqrt[4]{2}}$

Чтобы упростить это выражение, нужно внести множитель 5, стоящий под внешним квадратным корнем, под знак внутреннего корня четвертой степени. Для этого возведем 5 в степень 4:

$\sqrt{5\sqrt[4]{2}} = \sqrt{\sqrt[4]{5^4 \cdot 2}}$

Вычислим $5^4$: $5^4 = 625$.

$\sqrt{\sqrt[4]{625 \cdot 2}} = \sqrt{\sqrt[4]{1250}}$

Далее используем свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$. В данном случае показатель внешнего корня $n=2$, а внутреннего $m=4$.

$\sqrt[2 \cdot 4]{1250} = \sqrt[8]{1250}$

Ответ: $\sqrt[8]{1250}$

2) $\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}$

Внесем множитель $b$ под знак внутреннего корня четвертой степени. Для этого возведем $b$ в 4-ю степень.

$\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}} = \sqrt[3]{\sqrt[4]{b^4 \cdot b}}$

Используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, упростим выражение под внутренним корнем:

$\sqrt[3]{\sqrt[4]{b^{4+1}}} = \sqrt[3]{\sqrt[4]{b^5}}$

Теперь применим свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$:

$\sqrt[3 \cdot 4]{b^5} = \sqrt[12]{b^5}$

Ответ: $\sqrt[12]{b^5}$

3) $\sqrt[6]{p\sqrt[5]{p}}$

Внесем множитель $p$ под знак внутреннего корня пятой степени, возведя $p$ в 5-ю степень.

$\sqrt[6]{p\sqrt[5]{p}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{p^5 \cdot p}}$

Упростим подкоренное выражение:

$\sqrt[6]{\sqrt[5]{p^{5+1}}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{p^6}}$

Применим свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$:

$\sqrt[6 \cdot 5]{p^6} = \sqrt[30]{p^6}$

Полученное выражение можно упростить, разделив показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель, равный 6.

$\sqrt[30/6]{p^{6/6}} = \sqrt[5]{p}$

Ответ: $\sqrt[5]{p}$

4) $\sqrt[4]{a^3\sqrt[3]{a^7}}$

Внесем множитель $a^3$ под знак внутреннего корня третьей степени. Для этого возведем $a^3$ в 3-ю степень.

$(a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9$

$\sqrt[4]{a^3\sqrt[3]{a^7}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{(a^3)^3 \cdot a^7}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^9 \cdot a^7}}$

Упростим выражение под внутренним корнем:

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^{9+7}}} = \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^{16}}}$

Применим свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$:

$\sqrt[4 \cdot 3]{a^{16}} = \sqrt[12]{a^{16}}$

Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, равный 4.

$\sqrt[12/4]{a^{16/4}} = \sqrt[3]{a^4}$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = a\sqrt[3]{a}$

Ответ: $a\sqrt[3]{a}$