Номер 110, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

110. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

1) $5^{\frac{1}{4}}$;

2) $8^{\frac{7}{10}}$;

3) $3^{-\frac{1}{3}}$;

4) $6^{-\frac{4}{11}}$;

5) $(b+c)^{3.5}$;

6) $(2x^2 - 3y^2)^{-\frac{1}{6}}$.

Для преобразования степени с дробным показателем в корень используется основное свойство: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 2$), $m$ — целое число, и $a > 0$. Если показатель степени отрицательный, используется свойство $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

1) $5^{\frac{1}{4}}$

По определению степени с дробным показателем, где основание $a=5$, числитель показателя $m=1$ и знаменатель $n=4$:
$5^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{5^1} = \sqrt[4]{5}$

Ответ: $\sqrt[4]{5}$

2) $8^{\frac{7}{10}}$

Здесь основание $a=8$, числитель показателя $m=7$ и знаменатель $n=10$:
$8^{\frac{7}{10}} = \sqrt[10]{8^7}$

Ответ: $\sqrt[10]{8^7}$

3) $3^{-\frac{1}{3}}$

Сначала преобразуем степень с отрицательным показателем:
$3^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{3}}}$
Теперь представим знаменатель в виде корня, где $a=3, m=1, n=3$:
$\frac{1}{\sqrt[3]{3^1}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

4) $6^{-\frac{4}{11}}$

Преобразуем степень с отрицательным показателем:
$6^{-\frac{4}{11}} = \frac{1}{6^{\frac{4}{11}}}$
Представим знаменатель в виде корня, где $a=6, m=4, n=11$:
$\frac{1}{\sqrt[11]{6^4}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[11]{6^4}}$

5) $(b+c)^{3,5}$

Сначала представим десятичную дробь 3,5 в виде обыкновенной:
$3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$
Получаем выражение $(b+c)^{\frac{7}{2}}$.
Теперь преобразуем его в корень, где основание $a=(b+c)$, $m=7, n=2$:
$(b+c)^{\frac{7}{2}} = \sqrt[2]{(b+c)^7} = \sqrt{(b+c)^7}$

Ответ: $\sqrt{(b+c)^7}$

6) $(2x^2-3y^2)^{-1\frac{1}{6}}$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$-1\frac{1}{6} = -(1+\frac{1}{6}) = -\frac{7}{6}$
Получаем выражение $(2x^2-3y^2)^{-\frac{7}{6}}$.
Преобразуем степень с отрицательным показателем:
$(2x^2-3y^2)^{-\frac{7}{6}} = \frac{1}{(2x^2-3y^2)^{\frac{7}{6}}}$
Наконец, представим знаменатель в виде корня, где основание $a=(2x^2-3y^2)$, $m=7, n=6$:
$\frac{1}{\sqrt[6]{(2x^2-3y^2)^7}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{(2x^2-3y^2)^7}}$