Номер 117, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Найдите значение выражения:

1) $2^{2,4} \cdot 2^{-0,3} \cdot 2^{3,9};$

2) $(3^{-0,6})^4 \div 3^{-0,4};$

3) $(5^{-\frac{2}{3}})^{\frac{9}{16}} \cdot 25^{\frac{11}{16}};$

4) $16^{-0,75} \cdot 8^{\frac{5}{12}} \cdot 4^{\frac{5}{8}};$

5) $\left(\frac{36^{\frac{5}{6}} \cdot 2^{\frac{5}{6}}}{5^{-\frac{1}{6}} \cdot 6}\right)^{-12};$

1) Для того чтобы найти значение выражения $2^{2,4} \cdot 2^{-0,3} \cdot 2^{3,9}$, воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

$2^{2,4} \cdot 2^{-0,3} \cdot 2^{3,9} = 2^{2,4 + (-0,3) + 3,9} = 2^{2,1 + 3,9} = 2^6$

Вычислим значение $2^6$:

$2^6 = 64$

Ответ: $64$

2) Для того чтобы найти значение выражения $(3^{-0,6})^4 : 3^{-0,4}$, воспользуемся свойствами степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), а при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

Сначала упростим $(3^{-0,6})^4$:

$(3^{-0,6})^4 = 3^{-0,6 \cdot 4} = 3^{-2,4}$

Теперь выполним деление:

$3^{-2,4} : 3^{-0,4} = 3^{-2,4 - (-0,4)} = 3^{-2,4 + 0,4} = 3^{-2}$

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

3) Для того чтобы найти значение выражения $(5^{-\frac{2}{3}})^{\frac{9}{16}} \cdot 25^{\frac{11}{16}}$, приведем все степени к основанию 5, зная что $25 = 5^2$.

Упростим первую часть выражения:

$(5^{-\frac{2}{3}})^{\frac{9}{16}} = 5^{-\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{16}} = 5^{-\frac{18}{48}} = 5^{-\frac{3}{8}}$

Упростим вторую часть выражения:

$25^{\frac{11}{16}} = (5^2)^{\frac{11}{16}} = 5^{2 \cdot \frac{11}{16}} = 5^{\frac{22}{16}} = 5^{\frac{11}{8}}$

Теперь перемножим полученные результаты:

$5^{-\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{11}{8}} = 5^{-\frac{3}{8} + \frac{11}{8}} = 5^{\frac{8}{8}} = 5^1 = 5$

Ответ: $5$

4) Для того чтобы найти значение выражения $16^{-0,75} \cdot 8^{-\frac{5}{12}} \cdot 4^{\frac{5}{8}}$, приведем все основания к одному основанию, в данном случае к 2.

$16 = 2^4$; $8 = 2^3$; $4 = 2^2$. Также представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,75 = -\frac{3}{4}$.

Подставим эти значения в выражение:

$(2^4)^{-\frac{3}{4}} \cdot (2^3)^{-\frac{5}{12}} \cdot (2^2)^{\frac{5}{8}}$

Упростим каждый множитель:

$2^{4 \cdot (-\frac{3}{4})} = 2^{-3}$

$2^{3 \cdot (-\frac{5}{12})} = 2^{-\frac{15}{12}} = 2^{-\frac{5}{4}}$

$2^{2 \cdot \frac{5}{8}} = 2^{\frac{10}{8}} = 2^{\frac{5}{4}}$

Теперь перемножим степени:

$2^{-3} \cdot 2^{-\frac{5}{4}} \cdot 2^{\frac{5}{4}} = 2^{-3 - \frac{5}{4} + \frac{5}{4}} = 2^{-3}$

Вычислим конечный результат:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

5) Найдем значение выражения $(\frac{36^{\frac{5}{6}} \cdot 2^{\frac{5}{6}}}{5^{-\frac{1}{6}} \cdot 6})^{-12}$.

Воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ и применим внешний показатель степени $-12$ к каждому сомножителю в числителе и знаменателе: $(a^m)^n=a^{mn}$.

$\frac{(36^{\frac{5}{6}})^{-12} \cdot (2^{\frac{5}{6}})^{-12}}{(5^{-\frac{1}{6}})^{-12} \cdot 6^{-12}} = \frac{36^{\frac{5}{6} \cdot (-12)} \cdot 2^{\frac{5}{6} \cdot (-12)}}{5^{-\frac{1}{6} \cdot (-12)} \cdot 6^{-12}} = \frac{36^{-10} \cdot 2^{-10}}{5^2 \cdot 6^{-12}}$

Представим $36$ как $6^2$:

$\frac{(6^2)^{-10} \cdot 2^{-10}}{5^2 \cdot 6^{-12}} = \frac{6^{-20} \cdot 2^{-10}}{25 \cdot 6^{-12}}$

Упростим степени с основанием 6:

$\frac{6^{-20 - (-12)} \cdot 2^{-10}}{25} = \frac{6^{-8} \cdot 2^{-10}}{25}$

Представим $6$ как $2 \cdot 3$:

$\frac{(2 \cdot 3)^{-8} \cdot 2^{-10}}{25} = \frac{2^{-8} \cdot 3^{-8} \cdot 2^{-10}}{25}$

Объединим степени с основанием 2:

$\frac{2^{-8-10} \cdot 3^{-8}}{25} = \frac{2^{-18} \cdot 3^{-8}}{25}$

Запишем выражение с положительными показателями степени:

$\frac{1}{25 \cdot 2^{18} \cdot 3^8}$

Ответ: $\frac{1}{25 \cdot 2^{18} \cdot 3^8}$