Номер 119, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1) $a^{17} - b^{11}$

а) разности квадратов

Представим выражение в виде разности квадратов $X^2 - Y^2$. Для этого запишем каждый член исходного выражения как квадрат некоторого выражения, используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$.

$a^{17} = (a^{\frac{17}{2}})^2$

$b^{11} = (b^{\frac{11}{2}})^2$

Таким образом, исходное выражение можно записать как:

$a^{17} - b^{11} = (a^{\frac{17}{2}})^2 - (b^{\frac{11}{2}})^2$

Теперь разложим полученное выражение на множители по формуле разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$:

$(a^{\frac{17}{2}} - b^{\frac{11}{2}})(a^{\frac{17}{2}} + b^{\frac{11}{2}})$

Ответ: $(a^{\frac{17}{2}} - b^{\frac{11}{2}})(a^{\frac{17}{2}} + b^{\frac{11}{2}})$

б) разности кубов

Представим выражение в виде разности кубов $X^3 - Y^3$. Для этого запишем каждый член как куб некоторого выражения:

$a^{17} = (a^{\frac{17}{3}})^3$

$b^{11} = (b^{\frac{11}{3}})^3$

Таким образом, исходное выражение можно записать как:

$a^{17} - b^{11} = (a^{\frac{17}{3}})^3 - (b^{\frac{11}{3}})^3$

Разложим на множители по формуле разности кубов $X^3 - Y^3 = (X - Y)(X^2 + XY + Y^2)$:

$(a^{\frac{17}{3}} - b^{\frac{11}{3}})((a^{\frac{17}{3}})^2 + a^{\frac{17}{3}}b^{\frac{11}{3}} + (b^{\frac{11}{3}})^2) = (a^{\frac{17}{3}} - b^{\frac{11}{3}})(a^{\frac{34}{3}} + a^{\frac{17}{3}}b^{\frac{11}{3}} + b^{\frac{22}{3}})$

Ответ: $(a^{\frac{17}{3}} - b^{\frac{11}{3}})(a^{\frac{34}{3}} + a^{\frac{17}{3}}b^{\frac{11}{3}} + b^{\frac{22}{3}})$

2) $x^{\frac{2}{11}} - y^{\frac{15}{19}}$

а) разности квадратов

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$x^{\frac{2}{11}} = (x^{\frac{2}{11} \cdot \frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{11}})^2$

$y^{\frac{15}{19}} = (y^{\frac{15}{19} \cdot \frac{1}{2}})^2 = (y^{\frac{15}{38}})^2$

Выражение в виде разности квадратов:

$x^{\frac{2}{11}} - y^{\frac{15}{19}} = (x^{\frac{1}{11}})^2 - (y^{\frac{15}{38}})^2$

Разложим на множители по формуле $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$:

$(x^{\frac{1}{11}} - y^{\frac{15}{38}})(x^{\frac{1}{11}} + y^{\frac{15}{38}})$

Ответ: $(x^{\frac{1}{11}} - y^{\frac{15}{38}})(x^{\frac{1}{11}} + y^{\frac{15}{38}})$

б) разности кубов

Представим каждый член выражения в виде куба:

$x^{\frac{2}{11}} = (x^{\frac{2}{11} \cdot \frac{1}{3}})^3 = (x^{\frac{2}{33}})^3$

$y^{\frac{15}{19}} = (y^{\frac{15}{19} \cdot \frac{1}{3}})^3 = (y^{\frac{5}{19}})^3$

Выражение в виде разности кубов:

$x^{\frac{2}{11}} - y^{\frac{15}{19}} = (x^{\frac{2}{33}})^3 - (y^{\frac{5}{19}})^3$

Разложим на множители по формуле $X^3 - Y^3 = (X - Y)(X^2 + XY + Y^2)$:

$(x^{\frac{2}{33}} - y^{\frac{5}{19}})((x^{\frac{2}{33}})^2 + x^{\frac{2}{33}}y^{\frac{5}{19}} + (y^{\frac{5}{19}})^2) = (x^{\frac{2}{33}} - y^{\frac{5}{19}})(x^{\frac{4}{33}} + x^{\frac{2}{33}}y^{\frac{5}{19}} + y^{\frac{10}{19}})$

Ответ: $(x^{\frac{2}{33}} - y^{\frac{5}{19}})(x^{\frac{4}{33}} + x^{\frac{2}{33}}y^{\frac{5}{19}} + y^{\frac{10}{19}})$

3) $x^{\frac{1}{5}} - 7$

а) разности квадратов

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$x^{\frac{1}{5}} = (x^{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{10}})^2$

$7 = (\sqrt{7})^2$

Выражение в виде разности квадратов:

$x^{\frac{1}{5}} - 7 = (x^{\frac{1}{10}})^2 - (\sqrt{7})^2$

Разложим на множители по формуле $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$:

$(x^{\frac{1}{10}} - \sqrt{7})(x^{\frac{1}{10}} + \sqrt{7})$

Ответ: $(x^{\frac{1}{10}} - \sqrt{7})(x^{\frac{1}{10}} + \sqrt{7})$

б) разности кубов

Представим каждый член выражения в виде куба:

$x^{\frac{1}{5}} = (x^{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}})^3 = (x^{\frac{1}{15}})^3$

$7 = (\sqrt[3]{7})^3$

Выражение в виде разности кубов:

$x^{\frac{1}{5}} - 7 = (x^{\frac{1}{15}})^3 - (\sqrt[3]{7})^3$

Разложим на множители по формуле $X^3 - Y^3 = (X - Y)(X^2 + XY + Y^2)$:

$(x^{\frac{1}{15}} - \sqrt[3]{7})((x^{\frac{1}{15}})^2 + x^{\frac{1}{15}}\sqrt[3]{7} + (\sqrt[3]{7})^2) = (x^{\frac{1}{15}} - \sqrt[3]{7})(x^{\frac{2}{15}} + \sqrt[3]{7}x^{\frac{1}{15}} + \sqrt[3]{49})$

Ответ: $(x^{\frac{1}{15}} - \sqrt[3]{7})(x^{\frac{2}{15}} + \sqrt[3]{7}x^{\frac{1}{15}} + \sqrt[3]{49})$

4) $a^{\frac{7}{8}} - b^{\frac{1}{7}}$

а) разности квадратов

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$a^{\frac{7}{8}} = (a^{\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{7}{16}})^2$

$b^{\frac{1}{7}} = (b^{\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}})^2 = (b^{\frac{1}{14}})^2$

Выражение в виде разности квадратов:

$a^{\frac{7}{8}} - b^{\frac{1}{7}} = (a^{\frac{7}{16}})^2 - (b^{\frac{1}{14}})^2$

Разложим на множители по формуле $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$:

$(a^{\frac{7}{16}} - b^{\frac{1}{14}})(a^{\frac{7}{16}} + b^{\frac{1}{14}})$

Ответ: $(a^{\frac{7}{16}} - b^{\frac{1}{14}})(a^{\frac{7}{16}} + b^{\frac{1}{14}})$

б) разности кубов

Представим каждый член выражения в виде куба:

$a^{\frac{7}{8}} = (a^{\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{7}{24}})^3$

$b^{\frac{1}{7}} = (b^{\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{3}})^3 = (b^{\frac{1}{21}})^3$

Выражение в виде разности кубов:

$a^{\frac{7}{8}} - b^{\frac{1}{7}} = (a^{\frac{7}{24}})^3 - (b^{\frac{1}{21}})^3$

Разложим на множители по формуле $X^3 - Y^3 = (X - Y)(X^2 + XY + Y^2)$:

$(a^{\frac{7}{24}} - b^{\frac{1}{21}})((a^{\frac{7}{24}})^2 + a^{\frac{7}{24}}b^{\frac{1}{21}} + (b^{\frac{1}{21}})^2) = (a^{\frac{7}{24}} - b^{\frac{1}{21}})(a^{\frac{14}{24}} + a^{\frac{7}{24}}b^{\frac{1}{21}} + b^{\frac{2}{21}})$

Упростим дробь в показателе степени: $\frac{14}{24} = \frac{7}{12}$.

$(a^{\frac{7}{24}} - b^{\frac{1}{21}})(a^{\frac{7}{12}} + a^{\frac{7}{24}}b^{\frac{1}{21}} + b^{\frac{2}{21}})$

Ответ: $(a^{\frac{7}{24}} - b^{\frac{1}{21}})(a^{\frac{7}{12}} + a^{\frac{7}{24}}b^{\frac{1}{21}} + b^{\frac{2}{21}})$