Номер 125, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. Решите уравнение:

1) $(2x-1)(x-3) = x-3$;

2) $(x+1)\sqrt{x^2+x-2} = 2x+2$.

1)

Исходное уравнение: $\sqrt{(2x-1)(x-3)} = x-3$.

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2, \\ g(x) \ge 0. \end{cases}$

В нашем случае система выглядит так:

$\begin{cases} (2x-1)(x-3) = (x-3)^2, \\ x-3 \ge 0. \end{cases}$

Решим сначала неравенство, которое задает область допустимых решений:

$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

Теперь решим уравнение:

$(2x-1)(x-3) = (x-3)^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$(2x-1)(x-3) - (x-3)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x-3)$ за скобки:

$(x-3)((2x-1) - (x-3)) = 0$

$(x-3)(2x-1-x+3) = 0$

$(x-3)(x+2) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x-3=0 \implies x_1 = 3$

$x+2=0 \implies x_2 = -2$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 3$.

Корень $x_1=3$ удовлетворяет условию ($3 \ge 3$), следовательно, является решением исходного уравнения.

Корень $x_2=-2$ не удовлетворяет условию ($-2 < 3$), следовательно, является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $3$.

2)

Исходное уравнение: $(x+1)\sqrt{x^2+x-2} = 2x+2$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x^2+x-2 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2+x-2=0$. По теореме Виета, $x_1=-2$ и $x_2=1$.

Так как ветви параболы $y=x^2+x-2$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь решим само уравнение. Преобразуем правую часть: $2x+2 = 2(x+1)$.

$(x+1)\sqrt{x^2+x-2} = 2(x+1)$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(x+1)\sqrt{x^2+x-2} - 2(x+1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)(\sqrt{x^2+x-2} - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x+1=0 \implies x=-1$.

Проверим, принадлежит ли этот корень ОДЗ: $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$. Число $-1$ не входит в эту область, следовательно, $x=-1$ является посторонним корнем.

Случай 2: $\sqrt{x^2+x-2} - 2 = 0$.

$\sqrt{x^2+x-2} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2+x-2 = 4$

$x^2+x-6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $x = -3$ и $x = 2$.

Проверим, принадлежат ли эти корни ОДЗ.

Корень $x=-3$ принадлежит ОДЗ, так как $-3 \in (-\infty, -2]$.

Корень $x=2$ принадлежит ОДЗ, так как $2 \in [1, \infty)$.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $-3; 2$.