Номер 129, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Решите уравнение

$\sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x + 5}} + \sqrt{x + 6 - 2\sqrt{x + 5}} = 6.$

Дано уравнение: $\sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x + 5}} + \sqrt{x + 6 - 2\sqrt{x + 5}} = 6$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x + 5 \geq 0$, откуда $x \geq -5$.

Заметим, что выражения под внешними корнями можно упростить, выделив полные квадраты по формуле $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Рассмотрим первое подкоренное выражение $x + 6 + 2\sqrt{x + 5}$. Представим $x+6$ как $(x+5)+1$:

$(x+5) + 2\sqrt{x+5} + 1 = (\sqrt{x+5})^2 + 2 \cdot \sqrt{x+5} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x+5} + 1)^2$.

Аналогично для второго подкоренного выражения $x + 6 - 2\sqrt{x + 5}$:

$(x+5) - 2\sqrt{x+5} + 1 = (\sqrt{x+5})^2 - 2 \cdot \sqrt{x+5} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x+5} - 1)^2$.

Поскольку оба этих выражения являются полными квадратами, они всегда неотрицательны. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \geq -5$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$\sqrt{(\sqrt{x + 5} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x + 5} - 1)^2} = 6$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, уравнение принимает вид:

$|\sqrt{x + 5} + 1| + |\sqrt{x + 5} - 1| = 6$.

Раскроем модули. Так как $\sqrt{x+5} \geq 0$ при $x \geq -5$, то сумма $\sqrt{x+5}+1$ всегда положительна. Следовательно, $|\sqrt{x + 5} + 1| = \sqrt{x + 5} + 1$.

Уравнение упрощается до:

$\sqrt{x + 5} + 1 + |\sqrt{x + 5} - 1| = 6$.

Для раскрытия второго модуля необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения $\sqrt{x + 5} - 1$.

Первый случай: $\sqrt{x + 5} - 1 \geq 0$. Это условие выполняется, когда $\sqrt{x + 5} \geq 1$, то есть $x + 5 \geq 1$, что означает $x \geq -4$. В этом случае $|\sqrt{x + 5} - 1| = \sqrt{x + 5} - 1$.

Уравнение становится:

$(\sqrt{x + 5} + 1) + (\sqrt{x + 5} - 1) = 6$

$2\sqrt{x + 5} = 6$

$\sqrt{x + 5} = 3$

Возведя обе части в квадрат, получаем $x + 5 = 9$, откуда $x = 4$.

Найденный корень $x=4$ удовлетворяет условию $x \geq -4$, поэтому является решением.

Второй случай: $\sqrt{x + 5} - 1 < 0$. Это условие выполняется, когда $0 \leq \sqrt{x + 5} < 1$, то есть $0 \leq x + 5 < 1$, что означает $-5 \leq x < -4$. В этом случае $|\sqrt{x + 5} - 1| = -(\sqrt{x + 5} - 1) = 1 - \sqrt{x + 5}$.

Уравнение становится:

$(\sqrt{x + 5} + 1) + (1 - \sqrt{x + 5}) = 6$

$2 = 6$

Это неверное равенство, следовательно, в диапазоне $-5 \leq x < -4$ решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем единственное решение $x = 4$.

Выполним проверку. Подставим $x = 4$ в исходное уравнение:

$\sqrt{4 + 6 + 2\sqrt{4 + 5}} + \sqrt{4 + 6 - 2\sqrt{4 + 5}} = \sqrt{10 + 2\sqrt{9}} + \sqrt{10 - 2\sqrt{9}} = \sqrt{10 + 2 \cdot 3} + \sqrt{10 - 2 \cdot 3} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$.

Равенство $6=6$ верно.

Ответ: $4$.