Номер 136, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+14} < 6-x;$

2) $\sqrt{2x+5} < x+1;$

3) $\sqrt{-2x-x^2} < 3-x;$

4) $\sqrt{2x^2-3x-5} \le x-1.$

1) $\sqrt{x+14} < 6-x$
Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств:$$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}$$Применительно к нашему случаю, система выглядит так:$$ \begin{cases} x+14 \ge 0 \\ 6-x > 0 \\ x+14 < (6-x)^2 \end{cases}$$Решим каждое неравенство системы по отдельности:
1) $x+14 \ge 0 \implies x \ge -14$
2) $6-x > 0 \implies x < 6$
3) $x+14 < (6-x)^2 \implies x+14 < 36 - 12x + x^2 \implies x^2 - 13x + 22 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 13x + 22=0$.
Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 22 = 169 - 88 = 81 = 9^2$.
Корни: $x_1 = \frac{13-9}{2} = 2$, $x_2 = \frac{13+9}{2} = 11$.
Так как ветви параболы $y=x^2 - 13x + 22$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 13x + 22 > 0$ выполняется при $x < 2$ или $x > 11$.
Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств:$$ \begin{cases} x \ge -14 \\ x < 6 \\ x \in (-\infty; 2) \cup (11; +\infty) \end{cases}$$Из первых двух неравенств следует, что $x \in [-14; 6)$. Пересекая этот промежуток с решением третьего неравенства, получаем итоговый интервал $x \in [-14; 2)$.
Ответ: $x \in [-14; 2)$.

2) $\sqrt{2x+5} < x+1$
Данное неравенство равносильно системе:$$ \begin{cases} 2x+5 \ge 0 \\ x+1 > 0 \\ 2x+5 < (x+1)^2 \end{cases}$$Решим систему:
1) $2x+5 \ge 0 \implies 2x \ge -5 \implies x \ge -2.5$
2) $x+1 > 0 \implies x > -1$
3) $2x+5 < x^2 + 2x + 1 \implies 4 < x^2 \implies x^2 - 4 > 0$.
Разложив на множители, получаем $(x-2)(x+2) > 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
Найдем пересечение решений:$$ \begin{cases} x \ge -2.5 \\ x > -1 \\ x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \end{cases}$$Из первых двух неравенств следует, что $x > -1$. Пересекая это условие с решением третьего неравенства, получаем $x \in (2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

3) $\sqrt{-2x-x^2} < 3-x$
Неравенство равносильно системе:$$ \begin{cases} -2x-x^2 \ge 0 \\ 3-x > 0 \\ -2x-x^2 < (3-x)^2 \end{cases}$$Решим систему:
1) $-2x-x^2 \ge 0 \implies x^2+2x \le 0 \implies x(x+2) \le 0$.
Корни уравнения $x(x+2)=0$ это $x=0$ и $x=-2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [-2; 0]$.
2) $3-x > 0 \implies x < 3$.
3) $-2x-x^2 < 9 - 6x + x^2 \implies 2x^2 - 4x + 9 > 0$.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $2x^2 - 4x + 9$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 16 - 72 = -56$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $2 > 0$, трехчлен положителен при любых значениях $x$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty; +\infty)$.
Найдем пересечение решений:$$ \begin{cases} x \in [-2; 0] \\ x < 3 \\ x \in (-\infty; +\infty) \end{cases}$$Пересечением этих множеств является интервал $[-2; 0]$.
Ответ: $x \in [-2; 0]$.

4) $\sqrt{2x^2-3x-5} \le x-1$
Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} \le g(x)$ равносильно системе:$$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le (g(x))^2 \end{cases}$$Применительно к нашему случаю, система выглядит так:$$ \begin{cases} 2x^2-3x-5 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \\ 2x^2-3x-5 \le (x-1)^2 \end{cases}$$Решим каждое неравенство системы:
1) $2x^2-3x-5 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2-3x-5 = 0$. $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{3-7}{4} = -1$, $x_2 = \frac{3+7}{4} = 2.5$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1] \cup [2.5; +\infty)$.
2) $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
3) $2x^2-3x-5 \le x^2 - 2x + 1 \implies x^2 - x - 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $x_1 = \frac{1-5}{2} = -2$, $x_2 = \frac{1+5}{2} = 3$.
Решение неравенства: $x \in [-2; 3]$.
Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств:$$ \begin{cases} x \in (-\infty; -1] \cup [2.5; +\infty) \\ x \ge 1 \\ x \in [-2; 3] \end{cases}$$Пересечение первого и второго условия дает $x \in [2.5; +\infty)$. Пересекая полученный результат с третьим условием $x \in [-2; 3]$, получаем итоговое решение $x \in [2.5; 3]$.
Ответ: $x \in [2.5; 3]$.