Номер 133, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+3}-\sqrt{x-2}=\sqrt{x-5}$;

2) $\sqrt{x-3}=\sqrt{x-2}-\sqrt{2x+1}$;

3) $\sqrt{x-3}=\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+4}$.

1) $\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} = \sqrt{x-5}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \\ x-5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 2 \\ x \ge 5 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \ge 5$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы при возведении в квадрат избавиться от одного из корней:
$\sqrt{x+3} = \sqrt{x-5} + \sqrt{x-2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{x-5} + \sqrt{x-2})^2$
$x+3 = (x-5) + 2\sqrt{(x-5)(x-2)} + (x-2)$
$x+3 = 2x - 7 + 2\sqrt{x^2 - 7x + 10}$

Уединим оставшийся радикал в одной части уравнения:
$x+3 - 2x + 7 = 2\sqrt{x^2 - 7x + 10}$
$10 - x = 2\sqrt{x^2 - 7x + 10}$

Так как правая часть уравнения ($2\sqrt{...}$) неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной: $10 - x \ge 0$, откуда $x \le 10$.
С учетом ОДЗ получаем ограничение на $x$: $5 \le x \le 10$.

Снова возведем обе части в квадрат:
$(10 - x)^2 = (2\sqrt{x^2 - 7x + 10})^2$
$100 - 20x + x^2 = 4(x^2 - 7x + 10)$
$100 - 20x + x^2 = 4x^2 - 28x + 40$

Приведем подобные слагаемые и решим полученное квадратное уравнение:
$3x^2 - 8x - 60 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(3)(-60) = 64 + 720 = 784 = 28^2$
$x_1 = \frac{8 + 28}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$
$x_2 = \frac{8 - 28}{2 \cdot 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$

Проверим найденные корни на соответствие условию $5 \le x \le 10$.
Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет этому условию.
Корень $x_2 = -10/3$ не удовлетворяет этому условию, значит, это посторонний корень.
Проверка подстановкой $x=6$ в исходное уравнение:
$\sqrt{6+3} - \sqrt{6-2} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3-2=1$
$\sqrt{6-5} = \sqrt{1} = 1$
$1=1$. Решение верно.
Ответ: 6

2) $\sqrt{x-3} = \sqrt{x-2} - \sqrt{2x+1}$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x \ge 2 \\ x \ge -0.5 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x \ge 3$.

Левая часть уравнения, $\sqrt{x-3}$, является неотрицательной. Значит, правая часть также должна быть неотрицательной:
$\sqrt{x-2} - \sqrt{2x+1} \ge 0$
$\sqrt{x-2} \ge \sqrt{2x+1}$

Так как обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:
$x-2 \ge 2x+1$
$-3 \ge x$ или $x \le -3$.

Мы получили два условия, которые должны выполняться одновременно:
1. Из ОДЗ: $x \ge 3$
2. Из условия неотрицательности правой части: $x \le -3$
Система $\begin{cases} x \ge 3 \\ x \le -3 \end{cases}$ не имеет решений, так как нет числа, которое было бы одновременно больше или равно 3 и меньше или равно -3.
Ответ: нет решений

3) $\sqrt{x-3} = \sqrt{2x+1} - \sqrt{x+4}$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ 2x+1 \ge 0 \\ x+4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x \ge -0.5 \\ x \ge -4 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x \ge 3$.

Так как левая часть уравнения неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной:
$\sqrt{2x+1} - \sqrt{x+4} \ge 0 \implies \sqrt{2x+1} \ge \sqrt{x+4}$
Возведем обе части в квадрат: $2x+1 \ge x+4 \implies x \ge 3$.
Это условие совпадает с ОДЗ и не накладывает новых ограничений.

Перенесем корень $\sqrt{x+4}$ в левую часть:
$\sqrt{x-3} + \sqrt{x+4} = \sqrt{2x+1}$

Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-3} + \sqrt{x+4})^2 = (\sqrt{2x+1})^2$
$(x-3) + 2\sqrt{(x-3)(x+4)} + (x+4) = 2x+1$
$2x + 1 + 2\sqrt{x^2+x-12} = 2x+1$

Упростим уравнение:
$2\sqrt{x^2+x-12} = 0$
$\sqrt{x^2+x-12} = 0$

Возведем в квадрат еще раз:
$x^2+x-12 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -12$
Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.
Проверка подстановкой $x=3$ в исходное уравнение:
Левая часть: $\sqrt{3-3} = 0$
Правая часть: $\sqrt{2(3)+1} - \sqrt{3+4} = \sqrt{7} - \sqrt{7} = 0$
$0=0$. Решение верно.
Ответ: 3