Номер 128, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x^2 + 2\sqrt{41 - x^2} = 26;$

2) $x^2 - x + \sqrt{x^2 - x - 2} = 8;$

3) $\sqrt{\frac{x + 4}{x - 4}} - 2\sqrt{\frac{x - 4}{x + 4}} = \frac{7}{3};$

4) $x\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x^5} = 3;$

5) $3x^2 + 15x + 2\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2.$

1) $x^2 + 2\sqrt{41 - x^2} = 26$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $41 - x^2 \ge 0$, откуда $x^2 \le 41$.

Для решения уравнения используем метод замены переменной. Пусть $t = \sqrt{41 - x^2}$. Согласно определению арифметического квадратного корня, $t \ge 0$.

Из введённой замены выразим $x^2$. Для этого возведем обе части равенства $t = \sqrt{41 - x^2}$ в квадрат: $t^2 = 41 - x^2$, откуда $x^2 = 41 - t^2$.

Подставим $t$ и выражение для $x^2$ в исходное уравнение:

$(41 - t^2) + 2t = 26$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $t$:

$-t^2 + 2t + 41 - 26 = 0$

$-t^2 + 2t + 15 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства:

$t^2 - 2t - 15 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -15. Корнями являются $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.

Учитывая ограничение $t \ge 0$, корень $t_2 = -3$ является посторонним. Следовательно, подходит только $t = 5$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$\sqrt{41 - x^2} = 5$

Возведем обе части в квадрат:

$41 - x^2 = 25$

$x^2 = 41 - 25$

$x^2 = 16$

Из этого уравнения получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x^2 \le 41$). Для обоих корней $(\pm 4)^2 = 16$, что меньше 41. Значит, оба корня являются решениями.

Ответ: $x = -4, x = 4$.

2) $x^2 - x + \sqrt{x^2 - x - 2} = 8$

ОДЗ: $x^2 - x - 2 \ge 0$. Решим неравенство, найдя корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 - x - 2}$. По определению $t \ge 0$.

Из замены следует, что $t^2 = x^2 - x - 2$, откуда можно выразить $x^2 - x = t^2 + 2$.

Подставим в исходное уравнение:

$(t^2 + 2) + t = 8$

Приведем к стандартному виду:

$t^2 + t - 6 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.

Так как $t \ge 0$, корень $t_2 = -3$ не подходит.

Выполняем обратную замену для $t=2$:

$\sqrt{x^2 - x - 2} = 2$

Возводим в квадрат обе части:

$x^2 - x - 2 = 4$

$x^2 - x - 6 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ: $3 \in [2, \infty)$ и $-2 \in (-\infty, -1]$.

Ответ: $x = -2, x = 3$.

3) $\sqrt{\frac{x+4}{x-4}} - 2\sqrt{\frac{x-4}{x+4}} = \frac{7}{3}$

ОДЗ: подкоренные выражения должны быть строго положительны (так как они также находятся в знаменателе), т.е. $\frac{x+4}{x-4} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.

Заметим, что второе подкоренное выражение является обратным к первому. Сделаем замену: $t = \sqrt{\frac{x+4}{x-4}}$. Тогда $\sqrt{\frac{x-4}{x+4}} = \frac{1}{t}$. По определению корня, $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t - 2\frac{1}{t} = \frac{7}{3}$

Умножим обе части на $3t$ (это возможно, так как $t \neq 0$):

$3t^2 - 6 = 7t$

$3t^2 - 7t - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4(3)(-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни $t_{1,2} = \frac{7 \pm 11}{6}$.

$t_1 = \frac{7+11}{6} = 3$

$t_2 = \frac{7-11}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Условию $t > 0$ удовлетворяет только $t_1 = 3$.

Вернемся к замене:

$\sqrt{\frac{x+4}{x-4}} = 3$

Возведем в квадрат:

$\frac{x+4}{x-4} = 9$

$x+4 = 9(x-4)$

$x+4 = 9x - 36$

$8x = 40$

$x = 5$

Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 5$.

4) $x\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x^5} = 3$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Преобразуем уравнение, записав корни в виде степеней:

$x^1 \cdot x^{1/4} + 2(x^5)^{1/8} = 3$

$x^{5/4} + 2x^{5/8} = 3$

Заметим, что $x^{5/4} = (x^{5/8})^2$. Это позволяет сделать замену. Пусть $t = x^{5/8}$. Так как $x \ge 0$, то $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + 2t = 3$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1=1$.

Выполняем обратную замену:

$x^{5/8} = 1$

Возведя обе части в степень $8/5$, получаем:

$x = 1^{8/5} \implies x=1$

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 1$.

5) $3x^2 + 15x + 2\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2$

ОДЗ: $x^2 + 5x + 1 \ge 0$.

Преобразуем левую часть уравнения, вынеся общий множитель:

$3(x^2 + 5x) + 2\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2$

Введем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 5x + 1}$, где $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = x^2 + 5x + 1$, откуда $x^2 + 5x = t^2 - 1$.

Подставим в уравнение:

$3(t^2 - 1) + 2t = 2$

$3t^2 - 3 + 2t - 2 = 0$

$3t^2 + 2t - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4(3)(-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

$t_{1,2} = \frac{-2 \pm 8}{6}$

$t_1 = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1 = 1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 1$

Возведем в квадрат:

$x^2 + 5x + 1 = 1$

$x^2 + 5x = 0$

$x(x+5) = 0$

Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.

Проверим корни по ОДЗ ($x^2 + 5x + 1 \ge 0$).

Для $x=0$: $0^2 + 5(0) + 1 = 1 \ge 0$. Корень подходит.

Для $x=-5$: $(-5)^2 + 5(-5) + 1 = 25 - 25 + 1 = 1 \ge 0$. Корень подходит.

Ответ: $x = -5, x = 0$.