Номер 132, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Решите уравнение:

1) $2\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} = 4;$

2) $\sqrt{x+9} - \sqrt{x-6} = 3;$

3) $\sqrt{x+6} + \sqrt{4-x} = 4;$

4) $\sqrt{3x+1} + \sqrt{x-1} = 6.$

1) Исходное уравнение: $2\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} = 4$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы уединить другой:
$2\sqrt{x+3} = 4 + \sqrt{x-2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(2\sqrt{x+3})^2 = (4 + \sqrt{x-2})^2$
$4(x+3) = 16 + 8\sqrt{x-2} + (x-2)$
$4x + 12 = 14 + x + 8\sqrt{x-2}$

Приведем подобные слагаемые и снова уединим корень:
$4x - x + 12 - 14 = 8\sqrt{x-2}$
$3x - 2 = 8\sqrt{x-2}$

Перед повторным возведением в квадрат необходимо убедиться, что обе части уравнения неотрицательны. Правая часть $8\sqrt{x-2} \ge 0$, следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной: $3x - 2 \ge 0$, что означает $x \ge \frac{2}{3}$. Это условие выполняется в рамках нашей ОДЗ ($x \ge 2$).
Возводим обе части в квадрат:
$(3x - 2)^2 = (8\sqrt{x-2})^2$
$9x^2 - 12x + 4 = 64(x-2)$
$9x^2 - 12x + 4 = 64x - 128$
$9x^2 - 76x + 132 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-76)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 132 = 5776 - 4752 = 1024 = 32^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{76 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{108}{18} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{76 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{44}{18} = \frac{22}{9}$

Оба корня ($x_1 = 6$ и $x_2 = \frac{22}{9} = 2\frac{4}{9}$) принадлежат ОДЗ ($x \ge 2$). Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение.
Для $x=6$: $2\sqrt{6+3} - \sqrt{6-2} = 2\sqrt{9} - \sqrt{4} = 2 \cdot 3 - 2 = 4$. Верно.
Для $x=\frac{22}{9}$: $2\sqrt{\frac{22}{9}+3} - \sqrt{\frac{22}{9}-2} = 2\sqrt{\frac{22+27}{9}} - \sqrt{\frac{22-18}{9}} = 2\sqrt{\frac{49}{9}} - \sqrt{\frac{4}{9}} = 2 \cdot \frac{7}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14-2}{3} = \frac{12}{3} = 4$. Верно.

Ответ: $6; \frac{22}{9}$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{x+9} - \sqrt{x-6} = 3$.

ОДЗ: $\begin{cases} x+9 \ge 0 \\ x-6 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -9 \\ x \ge 6 \end{cases} \implies x \ge 6$.

Перенесем один корень в правую часть:
$\sqrt{x+9} = 3 + \sqrt{x-6}$

Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+9})^2 = (3 + \sqrt{x-6})^2$
$x+9 = 9 + 6\sqrt{x-6} + (x-6)$
$x+9 = 3 + x + 6\sqrt{x-6}$

Упростим уравнение, уединив корень:
$x+9 - 3 - x = 6\sqrt{x-6}$
$6 = 6\sqrt{x-6}$
$1 = \sqrt{x-6}$

Снова возведем в квадрат:
$1^2 = (\sqrt{x-6})^2$
$1 = x-6$
$x = 7$

Корень $x=7$ принадлежит ОДЗ ($7 \ge 6$). Проверим подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{7+9} - \sqrt{7-6} = \sqrt{16} - \sqrt{1} = 4 - 1 = 3$. Верно.

Ответ: $7$.

3) Исходное уравнение: $\sqrt{x+6} + \sqrt{4-x} = 4$.

ОДЗ: $\begin{cases} x+6 \ge 0 \\ 4-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -6 \\ x \le 4 \end{cases} \implies -6 \le x \le 4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+6} + \sqrt{4-x})^2 = 4^2$
$(x+6) + 2\sqrt{(x+6)(4-x)} + (4-x) = 16$
$10 + 2\sqrt{-x^2 - 2x + 24} = 16$

Уединим корень:
$2\sqrt{-x^2 - 2x + 24} = 6$
$\sqrt{-x^2 - 2x + 24} = 3$

Возведем обе части в квадрат:
$-x^2 - 2x + 24 = 9$
$-x^2 - 2x + 15 = 0$
$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -15.
$x_1 = -5$, $x_2 = 3$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($-6 \le -5 \le 4$ и $-6 \le 3 \le 4$). Выполним проверку:
Для $x=-5$: $\sqrt{-5+6} + \sqrt{4-(-5)} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1+3=4$. Верно.
Для $x=3$: $\sqrt{3+6} + \sqrt{4-3} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3+1=4$. Верно.

Ответ: $-5; 3$.

4) Исходное уравнение: $\sqrt{3x+1} + \sqrt{x-1} = 6$.

ОДЗ: $\begin{cases} 3x+1 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies x \ge 1$.

Уединим один из корней:
$\sqrt{3x+1} = 6 - \sqrt{x-1}$

Так как левая часть неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательной: $6 - \sqrt{x-1} \ge 0 \implies \sqrt{x-1} \le 6 \implies x-1 \le 36 \implies x \le 37$. С учетом ОДЗ, ищем решение в интервале $x \in [1, 37]$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{3x+1})^2 = (6 - \sqrt{x-1})^2$
$3x+1 = 36 - 12\sqrt{x-1} + (x-1)$
$3x+1 = 35 + x - 12\sqrt{x-1}$

Уединим оставшийся корень:
$3x - x + 1 - 35 = -12\sqrt{x-1}$
$2x - 34 = -12\sqrt{x-1}$
Разделим обе части на -2:
$17 - x = 6\sqrt{x-1}$

Снова левая часть должна быть неотрицательной: $17 - x \ge 0 \implies x \le 17$. Это сужает наш интервал поиска до $x \in [1, 17]$.
Возведем в квадрат:
$(17 - x)^2 = (6\sqrt{x-1})^2$
$289 - 34x + x^2 = 36(x-1)$
$x^2 - 34x + 289 = 36x - 36$
$x^2 - 70x + 325 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
$D = (-70)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 325 = 4900 - 1300 = 3600 = 60^2$
Корни:
$x_1 = \frac{70 + 60}{2} = \frac{130}{2} = 65$
$x_2 = \frac{70 - 60}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Проверим корни на соответствие условию $x \in [1, 17]$.
$x_1 = 65$ не принадлежит интервалу $[1, 17]$, это посторонний корень.
$x_2 = 5$ принадлежит интервалу $[1, 17]$.
Проверим $x=5$ подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{3(5)+1} + \sqrt{5-1} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$. Верно.

Ответ: $5$.