Номер 131, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. Решите уравнение:

1) $\sqrt{-x^2 + 6x - 1} = x - 3;$

3) $\sqrt{4x^2 + 3x + 6} = x - 2;$

2) $\sqrt{x^2 - 11x + 11} = 2x - 1;$

4) $\sqrt{x + 3} = x - 2.$

1) $\sqrt{-x^2 + 6x - 1} = x - 3$

Данное уравнение равносильно системе, в которой подкоренное выражение равно квадрату правой части, а правая часть неотрицательна:

$\begin{cases} -x^2 + 6x - 1 = (x - 3)^2, \\ x - 3 \ge 0. \end{cases}$

Сначала решим неравенство:

$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

Теперь решим уравнение:

$-x^2 + 6x - 1 = x^2 - 6x + 9$

$2x^2 - 12x + 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 3$.

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию, так как $1 < 3$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию, так как $5 \ge 3$.

Ответ: $5$.

2) $\sqrt{x^2 - 11x + 11} = 2x - 1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 11x + 11 = (2x - 1)^2, \\ 2x - 1 \ge 0. \end{cases}$

Решим неравенство:

$2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Решим уравнение:

$x^2 - 11x + 11 = 4x^2 - 4x + 1$

$3x^2 + 7x - 10 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.

Находим корни:

$x_1 = \frac{-7 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$

$x_2 = \frac{-7 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge \frac{1}{2}$.

Корень $x_1 = -\frac{10}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{10}{3} < \frac{1}{2}$.

Корень $x_2 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \ge \frac{1}{2}$.

Ответ: $1$.

3) $\sqrt{4x^2 + 3x + 6} = x - 2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 4x^2 + 3x + 6 = (x - 2)^2, \\ x - 2 \ge 0. \end{cases}$

Решим неравенство:

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Решим уравнение:

$4x^2 + 3x + 6 = x^2 - 4x + 4$

$3x^2 + 7x + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

Находим корни:

$x_1 = \frac{-7 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

$x_2 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 2$.

Корень $x_1 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < 2$.

Корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{1}{3} < 2$.

Оба найденных корня являются посторонними, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

4) $\sqrt{x + 3} = x - 2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x + 3 = (x - 2)^2, \\ x - 2 \ge 0. \end{cases}$

Решим неравенство:

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Решим уравнение:

$x + 3 = x^2 - 4x + 4$

$x^2 - 5x + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$.

Находим корни:

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 2$.

Для корня $x_1 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$: так как $4 < \sqrt{21} < 5$, то $5 - \sqrt{21} < 5 - 4 = 1$. Следовательно, $\frac{5 - \sqrt{21}}{2} < \frac{1}{2}$, что меньше 2. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Для корня $x_2 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$: так как $\sqrt{21} > \sqrt{4} = 2$, то $5 + \sqrt{21} > 5 + 2 = 7$, и $\frac{5 + \sqrt{21}}{2} > \frac{7}{2} = 3.5$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Ответ: $\frac{5 + \sqrt{21}}{2}$.