Номер 135, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3-2x} > \sqrt{x+1};$

2) $\sqrt{4x-1} < \sqrt{3x-8};$

3) $\sqrt{x^2+2x-3} < \sqrt{9x-13};$

4) $\sqrt{x^2+2x-2} \ge \sqrt{-x^2+5x}.$

1) $\sqrt{3-2x} > \sqrt{x+1}$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

В данном случае получаем:

$\begin{cases} 3-2x > x+1 \\ x+1 \ge 0 \end{cases}$

Условие $3-2x \ge 0$ выполняется автоматически, так как из системы следует, что $3-2x > x+1 \ge 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} 3-1 > x+2x \\ x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} 2 > 3x \\ x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < \frac{2}{3} \\ x \ge -1 \end{cases}$

Пересекая эти два условия на числовой прямой, получаем решение: $-1 \le x < \frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in [-1, \frac{2}{3})$.

2) $\sqrt{4x-1} < \sqrt{3x-8}$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$

В данном случае получаем:

$\begin{cases} 4x-1 < 3x-8 \\ 4x-1 \ge 0 \end{cases}$

Условие $3x-8 \ge 0$ выполняется автоматически, так как $3x-8 > 4x-1 \ge 0$. Можно также для полноты картины решить систему из трех неравенств, включающую область определения для обоих подкоренных выражений, результат будет тем же.

Решим систему:

$\begin{cases} 4x-3x < -8+1 \\ 4x \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -7 \\ x \ge \frac{1}{4} \end{cases}$

Система не имеет решений, так как не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно меньше $-7$ и больше или равно $\frac{1}{4}$.

Ответ: решений нет.

3) $\sqrt{x^2+2x-3} < \sqrt{9x-13}$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2+2x-3 < 9x-13 \\ x^2+2x-3 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1. $x^2+2x-3 \ge 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2+2x-3=0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Так как ветви параболы $y=x^2+2x-3$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$.

2. $x^2+2x-3 < 9x-13 \implies x^2-7x+10 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2-7x+10=0$. По теореме Виета, $x_1=2$, $x_2=5$. Ветви параболы $y=x^2-7x+10$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (2, 5)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty) \\ x \in (2, 5) \end{cases}$

Интервал $(2, 5)$ полностью содержится в множестве $[1, \infty)$, поэтому их пересечение равно $(2, 5)$. Пересечение с $(-\infty, -3]$ пусто.

Таким образом, общее решение системы — это $x \in (2, 5)$.

Ответ: $x \in (2, 5)$.

4) $\sqrt{x^2+2x-2} \ge \sqrt{-x^2+5x}$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) \ge g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

В данном случае получаем:

$\begin{cases} x^2+2x-2 \ge -x^2+5x \\ -x^2+5x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1. $-x^2+5x \ge 0 \implies x^2-5x \le 0 \implies x(x-5) \le 0$. Решением является отрезок $[0, 5]$.

2. $x^2+2x-2 \ge -x^2+5x \implies 2x^2-3x-2 \ge 0$. Найдем корни уравнения $2x^2-3x-2=0$. Вычислим дискриминант: $D = (-3)^2-4(2)(-2) = 9+16=25$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$. Получаем $x_1 = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{3+5}{4} = 2$. Так как ветви параболы $y=2x^2-3x-2$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [2, \infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x \in [0, 5] \\ x \in (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [2, \infty) \end{cases}$

Пересечение отрезка $[0, 5]$ с множеством $(-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [2, \infty)$ дает отрезок $[2, 5]$.

Ответ: $x \in [2, 5]$.