Номер 134, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. Решите неравенство:

1) $\sqrt{4-x} > 3;$

2) $\sqrt{4-x} < 3;$

3) $\sqrt{4-x} > -4;$

4) $\sqrt{4-x} < -4.$

1) $ \sqrt{4-x} > 3 $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$ 4 - x \ge 0 $

$ -x \ge -4 $

$ x \le 4 $

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-\infty; 4] $.

Теперь решим само неравенство. Так как обе части неравенства ($ \sqrt{4-x} $ и $ 3 $) неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$ (\sqrt{4-x})^2 > 3^2 $

$ 4 - x > 9 $

$ -x > 9 - 4 $

$ -x > 5 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ x < -5 $

Совместим полученное решение с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств $ x < -5 $ и $ x \le 4 $. Общим решением является $ x < -5 $.

Ответ: $ (-\infty; -5) $.

2) $ \sqrt{4-x} < 3 $

Область допустимых значений (ОДЗ) такая же, как и в первом пункте:

$ 4 - x \ge 0 \implies x \le 4 $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty; 4] $.

Решаем неравенство. Левая часть $ \sqrt{4-x} $ неотрицательна, правая часть $ 3 $ положительна. Возводим обе части в квадрат:

$ (\sqrt{4-x})^2 < 3^2 $

$ 4 - x < 9 $

$ -x < 5 $

$ x > -5 $

Теперь найдем пересечение полученного решения $ x > -5 $ с ОДЗ $ x \le 4 $. Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство: $ -5 < x \le 4 $.

Ответ: $ (-5; 4] $.

3) $ \sqrt{4-x} > -4 $

Найдем ОДЗ:

$ 4 - x \ge 0 \implies x \le 4 $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty; 4] $.

Проанализируем неравенство. Арифметический квадратный корень $ \sqrt{4-x} $ по определению всегда принимает неотрицательные значения, то есть $ \sqrt{4-x} \ge 0 $. Справа в неравенстве стоит отрицательное число -4. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, неравенство $ \sqrt{4-x} > -4 $ выполняется для всех значений $ x $ из области допустимых значений.

Таким образом, решением является вся ОДЗ.

Ответ: $ (-\infty; 4] $.

4) $ \sqrt{4-x} < -4 $

ОДЗ: $ x \le 4 $.

Проанализируем неравенство. Левая часть $ \sqrt{4-x} $ всегда неотрицательна ($ \sqrt{4-x} \ge 0 $). Правая часть — отрицательное число. Неотрицательное число не может быть меньше отрицательного числа. Поэтому данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $ \emptyset $ (решений нет).