Номер 138, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. Решите неравенство:

1) $(5 - 2x)\sqrt{x} \le 0;$

2) $\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} - 5 \ge 0;$

3) $\sqrt{x+1} + \sqrt{3x+1} \le 8.$

1) $(5-2x)\sqrt{x} \le 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Произведение двух множителей $(5-2x)$ и $\sqrt{x}$ меньше или равно нулю. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ, рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sqrt{x} = 0$.
Это возможно, если $x=0$. Подставим в неравенство: $(5-2 \cdot 0)\sqrt{0} \le 0$, что дает $0 \le 0$. Это верное неравенство, следовательно, $x=0$ является решением.

Случай 2: $\sqrt{x} > 0$.
Это верно при $x > 0$. В этом случае мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $\sqrt{x}$, не меняя знака неравенства:
$5-2x \le 0$
$5 \le 2x$
$x \ge 2.5$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем $x=0$ и $x \ge 2.5$.

Ответ: $x \in \{0\} \cup [2.5, +\infty)$.

2) $\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} - 5 \ge 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Так как $x \ge 0$, то $t \ge 0$. Тогда $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = t^2$. Неравенство принимает вид:
$t^2 - 4t - 5 \ge 0$

Решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $t^2 - 4t - 5 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.

Парабола $y = t^2 - 4t - 5$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $t^2 - 4t - 5 \ge 0$ выполняется при $t \le -1$ или $t \ge 5$.

Учтем условие $t \ge 0$.
Система $\begin{cases} t \ge 0 \\ t \le -1 \end{cases}$ не имеет решений.
Система $\begin{cases} t \ge 0 \\ t \ge 5 \end{cases}$ дает решение $t \ge 5$.

Вернемся к исходной переменной $x$:
$\sqrt[4]{x} \ge 5$
Возведем обе части неравенства в четвертую степень. Так как обе части неотрицательны, знак неравенства сохранится:
$(\sqrt[4]{x})^4 \ge 5^4$
$x \ge 625$

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x \in [625, +\infty)$.

3) $\sqrt{x+1} + \sqrt{3x+1} \le 8$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ 3x+1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge -1/3 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge -1/3$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x+1} + \sqrt{3x+1}$. Функции $y_1 = \sqrt{x+1}$ и $y_2 = \sqrt{3x+1}$ являются возрастающими на всей области определения. Сумма двух возрастающих функций также является возрастающей функцией. Следовательно, $f(x)$ — возрастающая функция при $x \ge -1/3$.

Найдем значение $x$, при котором левая часть равна правой. Решим уравнение:
$\sqrt{x+1} + \sqrt{3x+1} = 8$
Методом подбора находим корень. Попробуем значения $x$, при которых извлекаются целые корни.
При $x=8$: $\sqrt{8+1} + \sqrt{3 \cdot 8 + 1} = \sqrt{9} + \sqrt{25} = 3 + 5 = 8$.
Значит, $x=8$ является корнем уравнения.

Поскольку функция $f(x)$ возрастающая, а $x=8$ является решением уравнения $f(x)=8$, то неравенство $f(x) \le 8$ будет выполняться для всех $x$, которые не превосходят 8, то есть $x \le 8$.

Теперь объединим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x \le 8 \\ x \ge -1/3 \end{cases}$
Решением системы является промежуток $-1/3 \le x \le 8$.

Ответ: $x \in [-1/3, 8]$.