Номер 139, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Решим неравенство $a\sqrt{x+3} < 1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x+3 \ge 0$, следовательно, $x \ge -3$.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a > 0$.

Разделим обе части неравенства на $a$. Так как $a$ — положительное число, знак неравенства не меняется:

$\sqrt{x+3} < \frac{1}{a}$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат:

$x+3 < \left(\frac{1}{a}\right)^2$

$x < \frac{1}{a^2} - 3$

С учетом ОДЗ ($x \ge -3$), получаем решение для этого случая: $-3 \le x < \frac{1}{a^2} - 3$.

Случай 2: $a = 0$.

Неравенство принимает вид $0 \cdot \sqrt{x+3} < 1$, что равносильно $0 < 1$.

Это верное числовое неравенство, которое выполняется для всех допустимых значений $x$.

Следовательно, решением является вся ОДЗ: $x \ge -3$.

Случай 3: $a < 0$.

В этом случае левая часть неравенства, $a\sqrt{x+3}$, является неположительной (то есть $\le 0$), так как $a < 0$ и $\sqrt{x+3} \ge 0$. Правая часть неравенства равна 1.

Неравенство «неположительное число < 1» всегда верно.

Следовательно, решением является вся ОДЗ: $x \ge -3$.

Объединяя случаи 2 и 3, получаем, что при $a \le 0$ решением является $x \ge -3$.

Ответ:
если $a \le 0$, то $x \in [-3, +\infty)$;
если $a > 0$, то $x \in \left[-3, \frac{1}{a^2}-3\right)$.

Решим неравенство $(2-a)\sqrt{1-x} \ge 1$.

ОДЗ определяется условием $1-x \ge 0$, откуда $x \le 1$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака множителя $(2-a)$.

Случай 1: $2-a > 0$, то есть $a < 2$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $(2-a)$, знак неравенства при этом не изменится:

$\sqrt{1-x} \ge \frac{1}{2-a}$

Так как обе части неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат:

$1-x \ge \left(\frac{1}{2-a}\right)^2$

$1-x \ge \frac{1}{(2-a)^2}$

Выразим $x$:

$-x \ge \frac{1}{(2-a)^2} - 1$

$x \le 1 - \frac{1}{(2-a)^2}$

Проверим соответствие ОДЗ. Так как $(2-a)^2 > 0$, то $\frac{1}{(2-a)^2} > 0$, и, следовательно, $1 - \frac{1}{(2-a)^2} < 1$. Таким образом, найденное решение $x \le 1 - \frac{1}{(2-a)^2}$ автоматически удовлетворяет условию ОДЗ ($x \le 1$).

Случай 2: $2-a \le 0$, то есть $a \ge 2$.

В этом случае множитель $(2-a)$ является неположительным. Левая часть неравенства $(2-a)\sqrt{1-x}$ также неположительна (произведение неположительного числа на неотрицательное). Правая часть равна 1.

Неравенство «неположительное число $\ge 1$» никогда не выполняется.

Следовательно, при $a \ge 2$ решений нет.

Ответ:
если $a < 2$, то $x \in \left(-\infty, 1 - \frac{1}{(2-a)^2}\right]$;
если $a \ge 2$, то решений нет ($x \in \emptyset$).