Номер 146, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку$P_0(-1; 0)$, чтобы получить точку:

1) $P_1\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

2) $P_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

Для решения этой задачи мы будем работать с точками на единичной окружности. Положение точки на такой окружности можно описать углом, который образует радиус-вектор этой точки с положительным направлением оси Ox. Координаты точки $P(x,y)$ связаны с углом $\alpha$ следующими соотношениями: $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$.

Угол поворота, переводящий начальную точку $P_0$ (соответствующую углу $\alpha_0$) в конечную точку $P_1$ (соответствующую углу $\alpha_1$), равен разности этих углов: $\phi = \alpha_1 - \alpha_0$. Поскольку угол можно измерять с точностью до целого числа полных оборотов ($2\pi$ радиан или $360^\circ$), мы должны найти общее решение.

Сначала определим угол, соответствующий начальной точке $P_0(-1; 0)$.

$\cos \alpha_0 = -1$

$\sin \alpha_0 = 0$

Этим условиям соответствует множество углов $\alpha_0 = \pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Найдем угол $\alpha_1$, соответствующий конечной точке $P_1\left(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

$\cos \alpha_1 = \frac{1}{2}$

$\sin \alpha_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Точка с такими координатами находится в IV четверти. Этим условиям соответствует множество углов $\alpha_1 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем все возможные углы поворота $\phi_1$, вычитая из угла конечной точки угол начальной точки:

$\phi_1 = \alpha_1 - \alpha_0 = \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi m\right) - \left(\pi + 2\pi k\right) = -\frac{\pi}{3} - \pi + 2\pi(m-k)$

Поскольку $m$ и $k$ — любые целые числа, их разность $m-k$ также является любым целым числом. Обозначим $n = m-k$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\phi_1 = -\frac{4\pi}{3} + 2\pi n$

Ответ: $-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем угол $\alpha_2$, соответствующий конечной точке $P_2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

$\cos \alpha_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \alpha_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Точка с такими координатами находится во II четверти. Этим условиям соответствует множество углов $\alpha_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем все возможные углы поворота $\phi_2$, вычитая из угла конечной точки угол начальной точки:

$\phi_2 = \alpha_2 - \alpha_0 = \left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi m\right) - \left(\pi + 2\pi k\right) = \frac{3\pi}{4} - \pi + 2\pi(m-k)$

Обозначим $n = m-k$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\phi_2 = \frac{3\pi}{4} - \frac{4\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.