Номер 151, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

151. Возможно ли равенство:

1) $sin \alpha = \frac{2}{3}$;

2) $cos \alpha = -\sqrt[3]{0,6}$;

3) $cos \alpha = \frac{\pi}{3}$;

4) $sin \alpha = \sqrt{5} - \sqrt{3}$?

Для того чтобы определить, возможно ли данное равенство, необходимо проверить, принадлежит ли значение тригонометрической функции области ее значений. Область значений для синуса и косинуса — это промежуток $[-1, 1]$. Таким образом, для любого угла $\alpha$ должны выполняться неравенства:
$-1 \le \sin \alpha \le 1$
$-1 \le \cos \alpha \le 1$
Проверим каждое из предложенных равенств.

1) $\sin \alpha = \frac{2}{3}$

Необходимо проверить, выполняется ли неравенство $-1 \le \frac{2}{3} \le 1$.
Дробь $\frac{2}{3}$ является правильной, так как числитель меньше знаменателя ($2 < 3$).
Это означает, что $0 < \frac{2}{3} < 1$.
Поскольку значение $\frac{2}{3}$ находится в промежутке $[-1, 1]$, данное равенство возможно.
Ответ: возможно.

2) $\cos \alpha = -\sqrt[3]{0,6}$

Проверим, находится ли значение $-\sqrt[3]{0,6}$ в промежутке $[-1, 1]$.
Рассмотрим подкоренное выражение: $0 < 0,6 < 1$.
Функция кубического корня является возрастающей, поэтому из $0 < 0,6 < 1$ следует, что $\sqrt[3]{0} < \sqrt[3]{0,6} < \sqrt[3]{1}$, то есть $0 < \sqrt[3]{0,6} < 1$.
Умножив все части неравенства на -1, мы изменим знаки неравенства на противоположные:
$-1 \cdot 0 > -1 \cdot \sqrt[3]{0,6} > -1 \cdot 1$
$0 > -\sqrt[3]{0,6} > -1$
Это можно записать как $-1 < -\sqrt[3]{0,6} < 0$.
Значение $-\sqrt[3]{0,6}$ принадлежит промежутку $[-1, 1]$, следовательно, равенство возможно.
Ответ: возможно.

3) $\cos \alpha = \frac{\pi}{3}$

Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \frac{\pi}{3} \le 1$.
Число $\pi$ (пи) — это математическая константа, приблизительно равная $3,14159...$
Поскольку $\pi > 3$, то при делении на 3 мы получаем $\frac{\pi}{3} > \frac{3}{3}$, то есть $\frac{\pi}{3} > 1$.
Значение $\frac{\pi}{3}$ больше 1 и, следовательно, не входит в область значений функции косинуса $[-1, 1]$.
Таким образом, данное равенство невозможно.
Ответ: невозможно.

4) $\sin \alpha = \sqrt{5} - \sqrt{3}$

Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \sqrt{5} - \sqrt{3} \le 1$.
Во-первых, так как $5 > 3$, то $\sqrt{5} > \sqrt{3}$, и их разность $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ является положительным числом. Значит, $\sqrt{5} - \sqrt{3} > 0 > -1$.
Во-вторых, сравним значение $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ с 1. Предположим, что $\sqrt{5} - \sqrt{3} \le 1$.
Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть: $\sqrt{5} \le 1 + \sqrt{3}$.
Обе части этого неравенства положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:
$(\sqrt{5})^2 \le (1 + \sqrt{3})^2$
$5 \le 1^2 + 2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$
$5 \le 1 + 2\sqrt{3} + 3$
$5 \le 4 + 2\sqrt{3}$
Вычтем 4 из обеих частей: $1 \le 2\sqrt{3}$.
Разделим на 2: $\frac{1}{2} \le \sqrt{3}$.
Возведем обе части в квадрат еще раз: $(\frac{1}{2})^2 \le (\sqrt{3})^2$, что дает $\frac{1}{4} \le 3$.
Последнее неравенство $0,25 \le 3$ является верным. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное предположение $\sqrt{5} - \sqrt{3} \le 1$ также верно.
Таким образом, $0 < \sqrt{5} - \sqrt{3} \le 1$, и это значение принадлежит промежутку $[-1, 1]$. Равенство возможно.
Ответ: возможно.