Номер 147, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

147. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на углы:

1) $\frac{\pi}{4} + 2\pi k;$

2) $\frac{\pi}{6} + 4\pi k, k \in Z;$

3) $-\pi + \pi k, k \in Z;$

4) $\frac{\pi k}{3}, k \in Z.$

Координаты точки $P(x; y)$ на единичной окружности, полученной поворотом начальной точки $P_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, определяются по формулам: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

1) $\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$

Поскольку слагаемое $2\pi k$ представляет собой целое число полных оборотов (период функций синус и косинус), положение точки на окружности определяется только углом $\frac{\pi}{4}$.

$x = \cos(\frac{\pi}{4} + 2\pi k) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = \sin(\frac{\pi}{4} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

При любом целом значении $k$ мы получаем одну и ту же точку.

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

2) $\frac{\pi}{6} + 4\pi k, k \in Z$

Аналогично первому случаю, $4\pi k$ представляет собой целое число двойных оборотов ($4\pi k = 2 \cdot (2\pi k)$). Поэтому положение точки определяется только углом $\frac{\pi}{6}$.

$x = \cos(\frac{\pi}{6} + 4\pi k) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sin(\frac{\pi}{6} + 4\pi k) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

При любом целом значении $k$ мы получаем одну и ту же точку.

Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$.

3) $-\pi + \pi k, k \in Z$

В этом случае слагаемое $\pi k$ означает добавление целого числа полуоборотов. Рассмотрим два случая для $k$: четное и нечетное.

Если $k$ - четное число, то $k = 2n$, где $n \in Z$. Угол равен $-\pi + \pi(2n) = -\pi + 2\pi n$.

$x = \cos(-\pi + 2\pi n) = \cos(-\pi) = -1$

$y = \sin(-\pi + 2\pi n) = \sin(-\pi) = 0$

Получаем точку $(-1; 0)$.

Если $k$ - нечетное число, то $k = 2n + 1$, где $n \in Z$. Угол равен $-\pi + \pi(2n + 1) = -\pi + 2\pi n + \pi = 2\pi n$.

$x = \cos(2\pi n) = \cos(0) = 1$

$y = \sin(2\pi n) = \sin(0) = 0$

Получаем точку $(1; 0)$.

Таким образом, мы получаем две различные точки.

Ответ: $(-1; 0)$ и $(1; 0)$.

4) $\frac{\pi k}{3}, k \in Z$

Будем подставлять различные целые значения $k$ и находить координаты до тех пор, пока точки не начнут повторяться. Период повторения для угла $\frac{\pi k}{3}$ будет $2\pi$, что соответствует $\frac{\pi k}{3} = 2\pi \implies k=6$. Значит, существует 6 уникальных точек, соответствующих $k=0, 1, 2, 3, 4, 5$.

При $k=0$: угол $0$. Координаты: $(\cos(0); \sin(0)) = (1; 0)$.

При $k=1$: угол $\frac{\pi}{3}$. Координаты: $(\cos(\frac{\pi}{3}); \sin(\frac{\pi}{3})) = (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=2$: угол $\frac{2\pi}{3}$. Координаты: $(\cos(\frac{2\pi}{3}); \sin(\frac{2\pi}{3})) = (-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=3$: угол $\frac{3\pi}{3} = \pi$. Координаты: $(\cos(\pi); \sin(\pi)) = (-1; 0)$.

При $k=4$: угол $\frac{4\pi}{3}$. Координаты: $(\cos(\frac{4\pi}{3}); \sin(\frac{4\pi}{3})) = (-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=5$: угол $\frac{5\pi}{3}$. Координаты: $(\cos(\frac{5\pi}{3}); \sin(\frac{5\pi}{3})) = (\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

При $k=6$ угол равен $2\pi$, что соответствует той же точке, что и при $k=0$. Далее точки будут циклически повторяться.

Ответ: $(1; 0)$, $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-1; 0)$, $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.