Номер 152, страница 131 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

152. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $1 - 5\cos\alpha;$

2) $4 + \sin^2 \alpha;$

3) $\frac{\sin \alpha(3 - \cos \alpha)}{\sin \alpha}.$

1) $1 - 5 \cos \alpha$

Область значений функции косинуса находится в промежутке от -1 до 1, то есть $ -1 \le \cos \alpha \le 1 $.

Чтобы найти диапазон значений всего выражения, выполним преобразования с этим неравенством. Сначала умножим все части неравенства на $-5$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-5) \ge -5 \cos \alpha \ge 1 \cdot (-5)$

$5 \ge -5 \cos \alpha \ge -5$

Запишем в более привычном порядке:

$-5 \le -5 \cos \alpha \le 5$

Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$1 - 5 \le 1 - 5 \cos \alpha \le 1 + 5$

$-4 \le 1 - 5 \cos \alpha \le 6$

Наименьшее значение выражения равно -4 (достигается, когда $\cos \alpha = 1$).

Наибольшее значение выражения равно 6 (достигается, когда $\cos \alpha = -1$).

Ответ: наименьшее значение -4, наибольшее значение 6.

2) $4 + \sin^2 \alpha$

Область значений функции синуса: $ -1 \le \sin \alpha \le 1 $.

Когда мы возводим в квадрат значения из этого промежутка, результат будет всегда неотрицательным. Минимальное значение будет $0^2=0$, а максимальное будет $(\pm 1)^2=1$. Таким образом, область значений для $\sin^2 \alpha$:

$0 \le \sin^2 \alpha \le 1$

Теперь прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$4 + 0 \le 4 + \sin^2 \alpha \le 4 + 1$

$4 \le 4 + \sin^2 \alpha \le 5$

Наименьшее значение выражения равно 4 (достигается, когда $\sin \alpha = 0$).

Наибольшее значение выражения равно 5 (достигается, когда $\sin \alpha = \pm 1$).

Ответ: наименьшее значение 4, наибольшее значение 5.

3) $\frac{\sin \alpha(3 - \cos \alpha)}{\sin \alpha}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения определяется условием, что знаменатель не равен нулю, то есть $\sin \alpha \ne 0$.

При выполнении этого условия мы можем сократить дробь на $\sin \alpha$:

$\frac{\sin \alpha(3 - \cos \alpha)}{\sin \alpha} = 3 - \cos \alpha$

Теперь нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения выражения $3 - \cos \alpha$ с учётом ограничения $\sin \alpha \ne 0$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ известно, что $\sin \alpha = 0$ тогда и только тогда, когда $\cos \alpha = 1$ или $\cos \alpha = -1$.

Следовательно, наше ограничение $\sin \alpha \ne 0$ означает, что $\cos \alpha \ne 1$ и $\cos \alpha \ne -1$.

Таким образом, значения $\cos \alpha$ находятся в интервале $ -1 < \cos \alpha < 1 $.

Проведём преобразования с этим строгим неравенством. Умножим на -1:

$1 > -\cos \alpha > -1$

Прибавим 3 ко всем частям:

$3 + 1 > 3 - \cos \alpha > 3 - 1$

$4 > 3 - \cos \alpha > 2$

Множеством значений исходного выражения является интервал $(2, 4)$. Поскольку концы интервала не включаются, выражение может принимать значения, сколь угодно близкие к 2 и 4, но никогда не достигает этих значений. Следовательно, у выражения нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Ответ: наибольшего и наименьшего значений не существует.