Номер 159, страница 132 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Углом какой четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\sin \alpha < 0$ и $\sin \alpha \cos \alpha > 0$;

2) $|\sin \alpha| = -\sin \alpha$ и $\sin \alpha \cos \alpha < 0$?

1)

Даны два условия: $ \sin \alpha < 0 $ и $ \sin \alpha \cos \alpha > 0 $.
Проанализируем каждое условие по отдельности, чтобы определить знаки тригонометрических функций в разных четвертях.

1. Условие $ \sin \alpha < 0 $ выполняется, когда угол $ \alpha $ находится в III или IV координатной четверти.

2. Условие $ \sin \alpha \cos \alpha > 0 $ означает, что произведение синуса и косинуса положительно. Это возможно только в том случае, когда $ \sin \alpha $ и $ \cos \alpha $ имеют одинаковые знаки.

• $ \sin \alpha > 0 $ и $ \cos \alpha > 0 $ — это I четверть.
• $ \sin \alpha < 0 $ и $ \cos \alpha < 0 $ — это III четверть.

Таким образом, второе условие выполняется для углов из I или III четверти.

Для того чтобы оба условия выполнялись одновременно, нужно найти общую для них четверть. Сравнивая результаты анализа (III или IV четверть из первого условия и I или III четверть из второго), мы видим, что единственной общей является III четверть.

Ответ: III четверть.

2)

Даны два условия: $ |\sin \alpha| = -\sin \alpha $ и $ \sin \alpha \cos \alpha < 0 $.
Проанализируем каждое условие.

1. Условие $ |\sin \alpha| = -\sin \alpha $ выполняется по определению модуля, если выражение под знаком модуля не является положительным, то есть $ \sin \alpha \le 0 $. Так как мы ищем четверть, то исключаем равенство нулю (когда угол лежит на оси). Таким образом, $ \sin \alpha < 0 $. Это означает, что угол $ \alpha $ находится в III или IV координатной четверти.

2. Условие $ \sin \alpha \cos \alpha < 0 $ означает, что произведение синуса и косинуса отрицательно. Это возможно только в том случае, когда $ \sin \alpha $ и $ \cos \alpha $ имеют разные знаки.

• $ \sin \alpha > 0 $ и $ \cos \alpha < 0 $ — это II четверть.
• $ \sin \alpha < 0 $ и $ \cos \alpha > 0 $ — это IV четверть.

Таким образом, второе условие выполняется для углов из II или IV четверти.

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, нужно найти общую для них четверть. Сравнивая результаты (III или IV четверть из первого условия и II или IV четверть из второго), мы видим, что единственной общей является IV четверть.

Ответ: IV четверть.