Номер 145, страница 130 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. Укажите наименьший положительный и наибольший отрицательный углы, на которые надо повернуть точку $P_0 (0; -1)$, чтобы получить точку с координатами:

1) $(0; 1)$;

2) $(1; 0)$;

3) $(-1; 0)$;

4) $(0; -1)$.

Для решения задачи представим точки на единичной окружности. Исходная точка $P_0(0; -1)$ находится в нижней части окружности и соответствует углу $\alpha_0 = -90^\circ$ или, в радианах, $\alpha_0 = -\frac{\pi}{2}$. Поворот на положительный угол осуществляется против часовой стрелки, а на отрицательный — по часовой стрелке.

Угол поворота $\alpha$, который переводит точку с начальным углом $\alpha_0$ в точку с конечным углом $\alpha_f$, можно найти по общей формуле $\alpha = \alpha_f - \alpha_0 + 360^\circ \cdot k$ (в градусах) или $\alpha = \alpha_f - \alpha_0 + 2\pi k$ (в радианах), где $k$ — любое целое число. Нам нужно найти наименьшее положительное значение $\alpha$ и наибольшее отрицательное (т.е. ближайшее к нулю) значение $\alpha$, подбирая соответствующее целое число $k$.

1) (0; 1)

Конечная точка $P_1(0; 1)$ находится в верхней части окружности и соответствует углу $\alpha_1 = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).Найдем все возможные углы поворота:$\alpha = 90^\circ - (-90^\circ) + 360^\circ \cdot k = 180^\circ + 360^\circ \cdot k$. Чтобы найти наименьший положительный угол, возьмем $k=0$: $\alpha = 180^\circ$. Чтобы найти наибольший отрицательный угол, возьмем $k=-1$: $\alpha = 180^\circ - 360^\circ = -180^\circ$. В радианах: $\alpha = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) + 2\pi k = \pi + 2\pi k$. При $k=0$, $\alpha = \pi$. При $k=-1$, $\alpha = \pi - 2\pi = -\pi$.

Ответ: наименьший положительный угол $180^\circ$ (или $\pi$ радиан), наибольший отрицательный угол $-180^\circ$ (или $-\pi$ радиан).

2) (1; 0)

Конечная точка $P_2(1; 0)$ находится в правой части окружности и соответствует углу $\alpha_2 = 0^\circ$ (или $0$ радиан).Найдем все возможные углы поворота:$\alpha = 0^\circ - (-90^\circ) + 360^\circ \cdot k = 90^\circ + 360^\circ \cdot k$. Наименьший положительный угол получается при $k=0$: $\alpha = 90^\circ$. Наибольший отрицательный угол получается при $k=-1$: $\alpha = 90^\circ - 360^\circ = -270^\circ$. В радианах: $\alpha = 0 - (-\frac{\pi}{2}) + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. При $k=0$, $\alpha = \frac{\pi}{2}$. При $k=-1$, $\alpha = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$.

Ответ: наименьший положительный угол $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан), наибольший отрицательный угол $-270^\circ$ (или $-\frac{3\pi}{2}$ радиан).

3) (-1; 0)

Конечная точка $P_3(-1; 0)$ находится в левой части окружности и соответствует углу $\alpha_3 = 180^\circ$ (или $\pi$ радиан).Найдем все возможные углы поворота:$\alpha = 180^\circ - (-90^\circ) + 360^\circ \cdot k = 270^\circ + 360^\circ \cdot k$. Наименьший положительный угол получается при $k=0$: $\alpha = 270^\circ$. Наибольший отрицательный угол получается при $k=-1$: $\alpha = 270^\circ - 360^\circ = -90^\circ$. В радианах: $\alpha = \pi - (-\frac{\pi}{2}) + 2\pi k = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. При $k=0$, $\alpha = \frac{3\pi}{2}$. При $k=-1$, $\alpha = \frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: наименьший положительный угол $270^\circ$ (или $\frac{3\pi}{2}$ радиан), наибольший отрицательный угол $-90^\circ$ (или $-\frac{\pi}{2}$ радиан).

4) (0; -1)

Конечная точка $P_4(0; -1)$ совпадает с начальной, $P_4 = P_0$. Угол, соответствующий этой точке, $\alpha_4 = -90^\circ$ (или $-\frac{\pi}{2}$ радиан).Найдем все возможные углы поворота:$\alpha = -90^\circ - (-90^\circ) + 360^\circ \cdot k = 360^\circ \cdot k$. Чтобы найти наименьший положительный угол, нужно взять наименьшее целое $k > 0$, то есть $k=1$: $\alpha = 360^\circ$. Чтобы найти наибольший отрицательный угол, нужно взять наибольшее целое $k < 0$, то есть $k=-1$: $\alpha = -360^\circ$. В радианах: $\alpha = 2\pi k$. При $k=1$, $\alpha = 2\pi$. При $k=-1$, $\alpha = -2\pi$.

Ответ: наименьший положительный угол $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан), наибольший отрицательный угол $-360^\circ$ (или $-2\pi$ радиан).