Страница 129 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. Решите уравнение:

1) $\sqrt{-x^2 + 6x - 1} = x - 3;$

3) $\sqrt{4x^2 + 3x + 6} = x - 2;$

2) $\sqrt{x^2 - 11x + 11} = 2x - 1;$

4) $\sqrt{x + 3} = x - 2.$

1) $\sqrt{-x^2 + 6x - 1} = x - 3$

Данное уравнение равносильно системе, в которой подкоренное выражение равно квадрату правой части, а правая часть неотрицательна:

$\begin{cases} -x^2 + 6x - 1 = (x - 3)^2, \\ x - 3 \ge 0. \end{cases}$

Сначала решим неравенство:

$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

Теперь решим уравнение:

$-x^2 + 6x - 1 = x^2 - 6x + 9$

$2x^2 - 12x + 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 3$.

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию, так как $1 < 3$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию, так как $5 \ge 3$.

Ответ: $5$.

2) $\sqrt{x^2 - 11x + 11} = 2x - 1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 11x + 11 = (2x - 1)^2, \\ 2x - 1 \ge 0. \end{cases}$

Решим неравенство:

$2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Решим уравнение:

$x^2 - 11x + 11 = 4x^2 - 4x + 1$

$3x^2 + 7x - 10 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.

Находим корни:

$x_1 = \frac{-7 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$

$x_2 = \frac{-7 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge \frac{1}{2}$.

Корень $x_1 = -\frac{10}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{10}{3} < \frac{1}{2}$.

Корень $x_2 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \ge \frac{1}{2}$.

Ответ: $1$.

3) $\sqrt{4x^2 + 3x + 6} = x - 2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 4x^2 + 3x + 6 = (x - 2)^2, \\ x - 2 \ge 0. \end{cases}$

Решим неравенство:

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Решим уравнение:

$4x^2 + 3x + 6 = x^2 - 4x + 4$

$3x^2 + 7x + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

Находим корни:

$x_1 = \frac{-7 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$

$x_2 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 2$.

Корень $x_1 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < 2$.

Корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{1}{3} < 2$.

Оба найденных корня являются посторонними, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

4) $\sqrt{x + 3} = x - 2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x + 3 = (x - 2)^2, \\ x - 2 \ge 0. \end{cases}$

Решим неравенство:

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Решим уравнение:

$x + 3 = x^2 - 4x + 4$

$x^2 - 5x + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$.

Находим корни:

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 2$.

Для корня $x_1 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$: так как $4 < \sqrt{21} < 5$, то $5 - \sqrt{21} < 5 - 4 = 1$. Следовательно, $\frac{5 - \sqrt{21}}{2} < \frac{1}{2}$, что меньше 2. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Для корня $x_2 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$: так как $\sqrt{21} > \sqrt{4} = 2$, то $5 + \sqrt{21} > 5 + 2 = 7$, и $\frac{5 + \sqrt{21}}{2} > \frac{7}{2} = 3.5$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Ответ: $\frac{5 + \sqrt{21}}{2}$.

132. Решите уравнение:

1) $2\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} = 4;$

2) $\sqrt{x+9} - \sqrt{x-6} = 3;$

3) $\sqrt{x+6} + \sqrt{4-x} = 4;$

4) $\sqrt{3x+1} + \sqrt{x-1} = 6.$

1) Исходное уравнение: $2\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} = 4$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы уединить другой:
$2\sqrt{x+3} = 4 + \sqrt{x-2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(2\sqrt{x+3})^2 = (4 + \sqrt{x-2})^2$
$4(x+3) = 16 + 8\sqrt{x-2} + (x-2)$
$4x + 12 = 14 + x + 8\sqrt{x-2}$

Приведем подобные слагаемые и снова уединим корень:
$4x - x + 12 - 14 = 8\sqrt{x-2}$
$3x - 2 = 8\sqrt{x-2}$

Перед повторным возведением в квадрат необходимо убедиться, что обе части уравнения неотрицательны. Правая часть $8\sqrt{x-2} \ge 0$, следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной: $3x - 2 \ge 0$, что означает $x \ge \frac{2}{3}$. Это условие выполняется в рамках нашей ОДЗ ($x \ge 2$).
Возводим обе части в квадрат:
$(3x - 2)^2 = (8\sqrt{x-2})^2$
$9x^2 - 12x + 4 = 64(x-2)$
$9x^2 - 12x + 4 = 64x - 128$
$9x^2 - 76x + 132 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-76)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 132 = 5776 - 4752 = 1024 = 32^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{76 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{108}{18} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{76 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{44}{18} = \frac{22}{9}$

Оба корня ($x_1 = 6$ и $x_2 = \frac{22}{9} = 2\frac{4}{9}$) принадлежат ОДЗ ($x \ge 2$). Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение.
Для $x=6$: $2\sqrt{6+3} - \sqrt{6-2} = 2\sqrt{9} - \sqrt{4} = 2 \cdot 3 - 2 = 4$. Верно.
Для $x=\frac{22}{9}$: $2\sqrt{\frac{22}{9}+3} - \sqrt{\frac{22}{9}-2} = 2\sqrt{\frac{22+27}{9}} - \sqrt{\frac{22-18}{9}} = 2\sqrt{\frac{49}{9}} - \sqrt{\frac{4}{9}} = 2 \cdot \frac{7}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14-2}{3} = \frac{12}{3} = 4$. Верно.

Ответ: $6; \frac{22}{9}$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{x+9} - \sqrt{x-6} = 3$.

ОДЗ: $\begin{cases} x+9 \ge 0 \\ x-6 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -9 \\ x \ge 6 \end{cases} \implies x \ge 6$.

Перенесем один корень в правую часть:
$\sqrt{x+9} = 3 + \sqrt{x-6}$

Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+9})^2 = (3 + \sqrt{x-6})^2$
$x+9 = 9 + 6\sqrt{x-6} + (x-6)$
$x+9 = 3 + x + 6\sqrt{x-6}$

Упростим уравнение, уединив корень:
$x+9 - 3 - x = 6\sqrt{x-6}$
$6 = 6\sqrt{x-6}$
$1 = \sqrt{x-6}$

Снова возведем в квадрат:
$1^2 = (\sqrt{x-6})^2$
$1 = x-6$
$x = 7$

Корень $x=7$ принадлежит ОДЗ ($7 \ge 6$). Проверим подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{7+9} - \sqrt{7-6} = \sqrt{16} - \sqrt{1} = 4 - 1 = 3$. Верно.

Ответ: $7$.

3) Исходное уравнение: $\sqrt{x+6} + \sqrt{4-x} = 4$.

ОДЗ: $\begin{cases} x+6 \ge 0 \\ 4-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -6 \\ x \le 4 \end{cases} \implies -6 \le x \le 4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+6} + \sqrt{4-x})^2 = 4^2$
$(x+6) + 2\sqrt{(x+6)(4-x)} + (4-x) = 16$
$10 + 2\sqrt{-x^2 - 2x + 24} = 16$

Уединим корень:
$2\sqrt{-x^2 - 2x + 24} = 6$
$\sqrt{-x^2 - 2x + 24} = 3$

Возведем обе части в квадрат:
$-x^2 - 2x + 24 = 9$
$-x^2 - 2x + 15 = 0$
$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -15.
$x_1 = -5$, $x_2 = 3$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($-6 \le -5 \le 4$ и $-6 \le 3 \le 4$). Выполним проверку:
Для $x=-5$: $\sqrt{-5+6} + \sqrt{4-(-5)} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1+3=4$. Верно.
Для $x=3$: $\sqrt{3+6} + \sqrt{4-3} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3+1=4$. Верно.

Ответ: $-5; 3$.

4) Исходное уравнение: $\sqrt{3x+1} + \sqrt{x-1} = 6$.

ОДЗ: $\begin{cases} 3x+1 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies x \ge 1$.

Уединим один из корней:
$\sqrt{3x+1} = 6 - \sqrt{x-1}$

Так как левая часть неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательной: $6 - \sqrt{x-1} \ge 0 \implies \sqrt{x-1} \le 6 \implies x-1 \le 36 \implies x \le 37$. С учетом ОДЗ, ищем решение в интервале $x \in [1, 37]$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{3x+1})^2 = (6 - \sqrt{x-1})^2$
$3x+1 = 36 - 12\sqrt{x-1} + (x-1)$
$3x+1 = 35 + x - 12\sqrt{x-1}$

Уединим оставшийся корень:
$3x - x + 1 - 35 = -12\sqrt{x-1}$
$2x - 34 = -12\sqrt{x-1}$
Разделим обе части на -2:
$17 - x = 6\sqrt{x-1}$

Снова левая часть должна быть неотрицательной: $17 - x \ge 0 \implies x \le 17$. Это сужает наш интервал поиска до $x \in [1, 17]$.
Возведем в квадрат:
$(17 - x)^2 = (6\sqrt{x-1})^2$
$289 - 34x + x^2 = 36(x-1)$
$x^2 - 34x + 289 = 36x - 36$
$x^2 - 70x + 325 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
$D = (-70)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 325 = 4900 - 1300 = 3600 = 60^2$
Корни:
$x_1 = \frac{70 + 60}{2} = \frac{130}{2} = 65$
$x_2 = \frac{70 - 60}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Проверим корни на соответствие условию $x \in [1, 17]$.
$x_1 = 65$ не принадлежит интервалу $[1, 17]$, это посторонний корень.
$x_2 = 5$ принадлежит интервалу $[1, 17]$.
Проверим $x=5$ подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{3(5)+1} + \sqrt{5-1} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$. Верно.

Ответ: $5$.

133. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+3}-\sqrt{x-2}=\sqrt{x-5}$;

2) $\sqrt{x-3}=\sqrt{x-2}-\sqrt{2x+1}$;

3) $\sqrt{x-3}=\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+4}$.

1) $\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} = \sqrt{x-5}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \\ x-5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 2 \\ x \ge 5 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \ge 5$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы при возведении в квадрат избавиться от одного из корней:
$\sqrt{x+3} = \sqrt{x-5} + \sqrt{x-2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{x-5} + \sqrt{x-2})^2$
$x+3 = (x-5) + 2\sqrt{(x-5)(x-2)} + (x-2)$
$x+3 = 2x - 7 + 2\sqrt{x^2 - 7x + 10}$

Уединим оставшийся радикал в одной части уравнения:
$x+3 - 2x + 7 = 2\sqrt{x^2 - 7x + 10}$
$10 - x = 2\sqrt{x^2 - 7x + 10}$

Так как правая часть уравнения ($2\sqrt{...}$) неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной: $10 - x \ge 0$, откуда $x \le 10$.
С учетом ОДЗ получаем ограничение на $x$: $5 \le x \le 10$.

Снова возведем обе части в квадрат:
$(10 - x)^2 = (2\sqrt{x^2 - 7x + 10})^2$
$100 - 20x + x^2 = 4(x^2 - 7x + 10)$
$100 - 20x + x^2 = 4x^2 - 28x + 40$

Приведем подобные слагаемые и решим полученное квадратное уравнение:
$3x^2 - 8x - 60 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(3)(-60) = 64 + 720 = 784 = 28^2$
$x_1 = \frac{8 + 28}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$
$x_2 = \frac{8 - 28}{2 \cdot 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$

Проверим найденные корни на соответствие условию $5 \le x \le 10$.
Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет этому условию.
Корень $x_2 = -10/3$ не удовлетворяет этому условию, значит, это посторонний корень.
Проверка подстановкой $x=6$ в исходное уравнение:
$\sqrt{6+3} - \sqrt{6-2} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3-2=1$
$\sqrt{6-5} = \sqrt{1} = 1$
$1=1$. Решение верно.
Ответ: 6

2) $\sqrt{x-3} = \sqrt{x-2} - \sqrt{2x+1}$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x \ge 2 \\ x \ge -0.5 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x \ge 3$.

Левая часть уравнения, $\sqrt{x-3}$, является неотрицательной. Значит, правая часть также должна быть неотрицательной:
$\sqrt{x-2} - \sqrt{2x+1} \ge 0$
$\sqrt{x-2} \ge \sqrt{2x+1}$

Так как обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:
$x-2 \ge 2x+1$
$-3 \ge x$ или $x \le -3$.

Мы получили два условия, которые должны выполняться одновременно:
1. Из ОДЗ: $x \ge 3$
2. Из условия неотрицательности правой части: $x \le -3$
Система $\begin{cases} x \ge 3 \\ x \le -3 \end{cases}$ не имеет решений, так как нет числа, которое было бы одновременно больше или равно 3 и меньше или равно -3.
Ответ: нет решений

3) $\sqrt{x-3} = \sqrt{2x+1} - \sqrt{x+4}$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ 2x+1 \ge 0 \\ x+4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x \ge -0.5 \\ x \ge -4 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x \ge 3$.

Так как левая часть уравнения неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной:
$\sqrt{2x+1} - \sqrt{x+4} \ge 0 \implies \sqrt{2x+1} \ge \sqrt{x+4}$
Возведем обе части в квадрат: $2x+1 \ge x+4 \implies x \ge 3$.
Это условие совпадает с ОДЗ и не накладывает новых ограничений.

Перенесем корень $\sqrt{x+4}$ в левую часть:
$\sqrt{x-3} + \sqrt{x+4} = \sqrt{2x+1}$

Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-3} + \sqrt{x+4})^2 = (\sqrt{2x+1})^2$
$(x-3) + 2\sqrt{(x-3)(x+4)} + (x+4) = 2x+1$
$2x + 1 + 2\sqrt{x^2+x-12} = 2x+1$

Упростим уравнение:
$2\sqrt{x^2+x-12} = 0$
$\sqrt{x^2+x-12} = 0$

Возведем в квадрат еще раз:
$x^2+x-12 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -12$
Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.
Проверка подстановкой $x=3$ в исходное уравнение:
Левая часть: $\sqrt{3-3} = 0$
Правая часть: $\sqrt{2(3)+1} - \sqrt{3+4} = \sqrt{7} - \sqrt{7} = 0$
$0=0$. Решение верно.
Ответ: 3

134. Решите неравенство:

1) $\sqrt{4-x} > 3;$

2) $\sqrt{4-x} < 3;$

3) $\sqrt{4-x} > -4;$

4) $\sqrt{4-x} < -4.$

1) $ \sqrt{4-x} > 3 $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$ 4 - x \ge 0 $

$ -x \ge -4 $

$ x \le 4 $

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-\infty; 4] $.

Теперь решим само неравенство. Так как обе части неравенства ($ \sqrt{4-x} $ и $ 3 $) неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$ (\sqrt{4-x})^2 > 3^2 $

$ 4 - x > 9 $

$ -x > 9 - 4 $

$ -x > 5 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ x < -5 $

Совместим полученное решение с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств $ x < -5 $ и $ x \le 4 $. Общим решением является $ x < -5 $.

Ответ: $ (-\infty; -5) $.

2) $ \sqrt{4-x} < 3 $

Область допустимых значений (ОДЗ) такая же, как и в первом пункте:

$ 4 - x \ge 0 \implies x \le 4 $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty; 4] $.

Решаем неравенство. Левая часть $ \sqrt{4-x} $ неотрицательна, правая часть $ 3 $ положительна. Возводим обе части в квадрат:

$ (\sqrt{4-x})^2 < 3^2 $

$ 4 - x < 9 $

$ -x < 5 $

$ x > -5 $

Теперь найдем пересечение полученного решения $ x > -5 $ с ОДЗ $ x \le 4 $. Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство: $ -5 < x \le 4 $.

Ответ: $ (-5; 4] $.

3) $ \sqrt{4-x} > -4 $

Найдем ОДЗ:

$ 4 - x \ge 0 \implies x \le 4 $.

ОДЗ: $ x \in (-\infty; 4] $.

Проанализируем неравенство. Арифметический квадратный корень $ \sqrt{4-x} $ по определению всегда принимает неотрицательные значения, то есть $ \sqrt{4-x} \ge 0 $. Справа в неравенстве стоит отрицательное число -4. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, неравенство $ \sqrt{4-x} > -4 $ выполняется для всех значений $ x $ из области допустимых значений.

Таким образом, решением является вся ОДЗ.

Ответ: $ (-\infty; 4] $.

4) $ \sqrt{4-x} < -4 $

ОДЗ: $ x \le 4 $.

Проанализируем неравенство. Левая часть $ \sqrt{4-x} $ всегда неотрицательна ($ \sqrt{4-x} \ge 0 $). Правая часть — отрицательное число. Неотрицательное число не может быть меньше отрицательного числа. Поэтому данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $ \emptyset $ (решений нет).

135. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3-2x} > \sqrt{x+1};$

2) $\sqrt{4x-1} < \sqrt{3x-8};$

3) $\sqrt{x^2+2x-3} < \sqrt{9x-13};$

4) $\sqrt{x^2+2x-2} \ge \sqrt{-x^2+5x}.$

1) $\sqrt{3-2x} > \sqrt{x+1}$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

В данном случае получаем:

$\begin{cases} 3-2x > x+1 \\ x+1 \ge 0 \end{cases}$

Условие $3-2x \ge 0$ выполняется автоматически, так как из системы следует, что $3-2x > x+1 \ge 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} 3-1 > x+2x \\ x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} 2 > 3x \\ x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < \frac{2}{3} \\ x \ge -1 \end{cases}$

Пересекая эти два условия на числовой прямой, получаем решение: $-1 \le x < \frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in [-1, \frac{2}{3})$.

2) $\sqrt{4x-1} < \sqrt{3x-8}$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$

В данном случае получаем:

$\begin{cases} 4x-1 < 3x-8 \\ 4x-1 \ge 0 \end{cases}$

Условие $3x-8 \ge 0$ выполняется автоматически, так как $3x-8 > 4x-1 \ge 0$. Можно также для полноты картины решить систему из трех неравенств, включающую область определения для обоих подкоренных выражений, результат будет тем же.

Решим систему:

$\begin{cases} 4x-3x < -8+1 \\ 4x \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -7 \\ x \ge \frac{1}{4} \end{cases}$

Система не имеет решений, так как не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно меньше $-7$ и больше или равно $\frac{1}{4}$.

Ответ: решений нет.

3) $\sqrt{x^2+2x-3} < \sqrt{9x-13}$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2+2x-3 < 9x-13 \\ x^2+2x-3 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1. $x^2+2x-3 \ge 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2+2x-3=0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Так как ветви параболы $y=x^2+2x-3$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$.

2. $x^2+2x-3 < 9x-13 \implies x^2-7x+10 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2-7x+10=0$. По теореме Виета, $x_1=2$, $x_2=5$. Ветви параболы $y=x^2-7x+10$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (2, 5)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty) \\ x \in (2, 5) \end{cases}$

Интервал $(2, 5)$ полностью содержится в множестве $[1, \infty)$, поэтому их пересечение равно $(2, 5)$. Пересечение с $(-\infty, -3]$ пусто.

Таким образом, общее решение системы — это $x \in (2, 5)$.

Ответ: $x \in (2, 5)$.

4) $\sqrt{x^2+2x-2} \ge \sqrt{-x^2+5x}$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) \ge g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

В данном случае получаем:

$\begin{cases} x^2+2x-2 \ge -x^2+5x \\ -x^2+5x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1. $-x^2+5x \ge 0 \implies x^2-5x \le 0 \implies x(x-5) \le 0$. Решением является отрезок $[0, 5]$.

2. $x^2+2x-2 \ge -x^2+5x \implies 2x^2-3x-2 \ge 0$. Найдем корни уравнения $2x^2-3x-2=0$. Вычислим дискриминант: $D = (-3)^2-4(2)(-2) = 9+16=25$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$. Получаем $x_1 = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{3+5}{4} = 2$. Так как ветви параболы $y=2x^2-3x-2$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [2, \infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x \in [0, 5] \\ x \in (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [2, \infty) \end{cases}$

Пересечение отрезка $[0, 5]$ с множеством $(-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [2, \infty)$ дает отрезок $[2, 5]$.

Ответ: $x \in [2, 5]$.

136. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+14} < 6-x;$

2) $\sqrt{2x+5} < x+1;$

3) $\sqrt{-2x-x^2} < 3-x;$

4) $\sqrt{2x^2-3x-5} \le x-1.$

1) $\sqrt{x+14} < 6-x$
Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств:$$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}$$Применительно к нашему случаю, система выглядит так:$$ \begin{cases} x+14 \ge 0 \\ 6-x > 0 \\ x+14 < (6-x)^2 \end{cases}$$Решим каждое неравенство системы по отдельности:
1) $x+14 \ge 0 \implies x \ge -14$
2) $6-x > 0 \implies x < 6$
3) $x+14 < (6-x)^2 \implies x+14 < 36 - 12x + x^2 \implies x^2 - 13x + 22 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 13x + 22=0$.
Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 22 = 169 - 88 = 81 = 9^2$.
Корни: $x_1 = \frac{13-9}{2} = 2$, $x_2 = \frac{13+9}{2} = 11$.
Так как ветви параболы $y=x^2 - 13x + 22$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 13x + 22 > 0$ выполняется при $x < 2$ или $x > 11$.
Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств:$$ \begin{cases} x \ge -14 \\ x < 6 \\ x \in (-\infty; 2) \cup (11; +\infty) \end{cases}$$Из первых двух неравенств следует, что $x \in [-14; 6)$. Пересекая этот промежуток с решением третьего неравенства, получаем итоговый интервал $x \in [-14; 2)$.
Ответ: $x \in [-14; 2)$.

2) $\sqrt{2x+5} < x+1$
Данное неравенство равносильно системе:$$ \begin{cases} 2x+5 \ge 0 \\ x+1 > 0 \\ 2x+5 < (x+1)^2 \end{cases}$$Решим систему:
1) $2x+5 \ge 0 \implies 2x \ge -5 \implies x \ge -2.5$
2) $x+1 > 0 \implies x > -1$
3) $2x+5 < x^2 + 2x + 1 \implies 4 < x^2 \implies x^2 - 4 > 0$.
Разложив на множители, получаем $(x-2)(x+2) > 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
Найдем пересечение решений:$$ \begin{cases} x \ge -2.5 \\ x > -1 \\ x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \end{cases}$$Из первых двух неравенств следует, что $x > -1$. Пересекая это условие с решением третьего неравенства, получаем $x \in (2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

3) $\sqrt{-2x-x^2} < 3-x$
Неравенство равносильно системе:$$ \begin{cases} -2x-x^2 \ge 0 \\ 3-x > 0 \\ -2x-x^2 < (3-x)^2 \end{cases}$$Решим систему:
1) $-2x-x^2 \ge 0 \implies x^2+2x \le 0 \implies x(x+2) \le 0$.
Корни уравнения $x(x+2)=0$ это $x=0$ и $x=-2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in [-2; 0]$.
2) $3-x > 0 \implies x < 3$.
3) $-2x-x^2 < 9 - 6x + x^2 \implies 2x^2 - 4x + 9 > 0$.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $2x^2 - 4x + 9$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 16 - 72 = -56$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $2 > 0$, трехчлен положителен при любых значениях $x$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty; +\infty)$.
Найдем пересечение решений:$$ \begin{cases} x \in [-2; 0] \\ x < 3 \\ x \in (-\infty; +\infty) \end{cases}$$Пересечением этих множеств является интервал $[-2; 0]$.
Ответ: $x \in [-2; 0]$.

4) $\sqrt{2x^2-3x-5} \le x-1$
Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} \le g(x)$ равносильно системе:$$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le (g(x))^2 \end{cases}$$Применительно к нашему случаю, система выглядит так:$$ \begin{cases} 2x^2-3x-5 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \\ 2x^2-3x-5 \le (x-1)^2 \end{cases}$$Решим каждое неравенство системы:
1) $2x^2-3x-5 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2-3x-5 = 0$. $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{3-7}{4} = -1$, $x_2 = \frac{3+7}{4} = 2.5$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1] \cup [2.5; +\infty)$.
2) $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
3) $2x^2-3x-5 \le x^2 - 2x + 1 \implies x^2 - x - 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $x_1 = \frac{1-5}{2} = -2$, $x_2 = \frac{1+5}{2} = 3$.
Решение неравенства: $x \in [-2; 3]$.
Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств:$$ \begin{cases} x \in (-\infty; -1] \cup [2.5; +\infty) \\ x \ge 1 \\ x \in [-2; 3] \end{cases}$$Пересечение первого и второго условия дает $x \in [2.5; +\infty)$. Пересекая полученный результат с третьим условием $x \in [-2; 3]$, получаем итоговое решение $x \in [2.5; 3]$.
Ответ: $x \in [2.5; 3]$.

137. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+24} > x-6$;

2) $\sqrt{21-10x} \ge 2x-3$;

3) $\sqrt{x^2+5x-6} > 2-x$;

4) $\sqrt{-x^2-4x-3} \ge x+3$.

1) Решим неравенство $\sqrt{x+24} > x-6$.
Это иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$, которое равносильно совокупности двух систем:

а) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \geq 0 \end{cases}$ или б) $\begin{cases} g(x) \geq 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}$

Подставим наши функции:

а) $\begin{cases} x-6 < 0 \\ x+24 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 6 \\ x \geq -24 \end{cases}$.
Решением этой системы является промежуток $x \in [-24, 6)$.

б) $\begin{cases} x-6 \geq 0 \\ x+24 > (x-6)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 6 \\ x+24 > x^2 - 12x + 36 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 6 \\ x^2 - 13x + 12 < 0 \end{cases}$.
Для решения квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 13x + 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 12$.
Неравенство $x^2 - 13x + 12 < 0$ выполняется при $x \in (1, 12)$.
Найдем пересечение с условием $x \geq 6$: $x \in [6, 12)$.

Объединим решения обеих систем: $[-24, 6) \cup [6, 12) = [-24, 12)$.
Ответ: $x \in [-24, 12)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{21-10x} \geq 2x-3$.
Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} \geq g(x)$, которое равносильно совокупности двух систем:

а) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \geq 0 \end{cases}$ или б) $\begin{cases} g(x) \geq 0 \\ f(x) \geq (g(x))^2 \end{cases}$

Подставим наши функции:

а) $\begin{cases} 2x-3 < 0 \\ 21-10x \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1.5 \\ -10x \geq -21 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1.5 \\ x \leq 2.1 \end{cases}$.
Решением этой системы является промежуток $x \in (-\infty, 1.5)$.

б) $\begin{cases} 2x-3 \geq 0 \\ 21-10x \geq (2x-3)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 1.5 \\ 21-10x \geq 4x^2 - 12x + 9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 1.5 \\ 4x^2 - 2x - 12 \leq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 1.5 \\ 2x^2 - x - 6 \leq 0 \end{cases}$.
Для решения квадратного неравенства найдем корни уравнения $2x^2 - x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(2)(-6) = 1+48=49$.
$x_1 = \frac{1-7}{4} = -1.5$, $x_2 = \frac{1+7}{4} = 2$.
Неравенство $2x^2 - x - 6 \leq 0$ выполняется при $x \in [-1.5, 2]$.
Найдем пересечение с условием $x \geq 1.5$: $x \in [1.5, 2]$.

Объединим решения обеих систем: $(-\infty, 1.5) \cup [1.5, 2] = (-\infty, 2]$.
Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

3) Решим неравенство $\sqrt{x^2+5x-6} > 2-x$.
Неравенство равносильно совокупности двух систем:

а) $\begin{cases} 2-x < 0 \\ x^2+5x-6 \geq 0 \end{cases}$ или б) $\begin{cases} 2-x \geq 0 \\ x^2+5x-6 > (2-x)^2 \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) из условия $x^2+5x-6 \geq 0$.
Корни уравнения $x^2+5x-6=0$ равны $x_1=-6$ и $x_2=1$. ОДЗ: $x \in (-\infty, -6] \cup [1, \infty)$.

а) $\begin{cases} x > 2 \\ x \in (-\infty, -6] \cup [1, \infty) \end{cases}$.
Решением этой системы является промежуток $x \in (2, \infty)$.

б) $\begin{cases} x \leq 2 \\ x^2+5x-6 > 4-4x+x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 2 \\ 9x > 10 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 2 \\ x > 10/9 \end{cases}$.
Решением этой системы является промежуток $x \in (10/9, 2]$. Этот промежуток входит в ОДЗ, так как $10/9 > 1$.

Объединим решения обеих систем: $(10/9, 2] \cup (2, \infty) = (10/9, \infty)$.
Ответ: $x \in (10/9, \infty)$.

4) Решим неравенство $\sqrt{-x^2-4x-3} \geq x+3$.
Неравенство равносильно совокупности двух систем при условии, что подкоренное выражение неотрицательно.

Найдем ОДЗ: $-x^2-4x-3 \geq 0 \implies x^2+4x+3 \leq 0$.
Корни уравнения $x^2+4x+3=0$ равны $x_1=-3$ и $x_2=-1$.
ОДЗ: $x \in [-3, -1]$.

а) $\begin{cases} x+3 < 0 \\ x \in [-3, -1] \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3 \\ x \in [-3, -1] \end{cases}$.
Эта система не имеет решений.

б) $\begin{cases} x+3 \geq 0 \\ -x^2-4x-3 \geq (x+3)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -3 \\ -x^2-4x-3 \geq x^2+6x+9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -3 \\ 2x^2+10x+12 \leq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -3 \\ x^2+5x+6 \leq 0 \end{cases}$.
Корни уравнения $x^2+5x+6=0$ равны $x_1=-3$ и $x_2=-2$.
Неравенство $x^2+5x+6 \leq 0$ выполняется при $x \in [-3, -2]$.
Пересекая с условием $x \geq -3$, получаем $x \in [-3, -2]$.
Это решение полностью входит в ОДЗ $x \in [-3, -1]$.

Поскольку первая система не имеет решений, общее решение неравенства совпадает с решением второй системы.
Ответ: $x \in [-3, -2]$.

138. Решите неравенство:

1) $(5 - 2x)\sqrt{x} \le 0;$

2) $\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} - 5 \ge 0;$

3) $\sqrt{x+1} + \sqrt{3x+1} \le 8.$

1) $(5-2x)\sqrt{x} \le 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Произведение двух множителей $(5-2x)$ и $\sqrt{x}$ меньше или равно нулю. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ, рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sqrt{x} = 0$.
Это возможно, если $x=0$. Подставим в неравенство: $(5-2 \cdot 0)\sqrt{0} \le 0$, что дает $0 \le 0$. Это верное неравенство, следовательно, $x=0$ является решением.

Случай 2: $\sqrt{x} > 0$.
Это верно при $x > 0$. В этом случае мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $\sqrt{x}$, не меняя знака неравенства:
$5-2x \le 0$
$5 \le 2x$
$x \ge 2.5$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем $x=0$ и $x \ge 2.5$.

Ответ: $x \in \{0\} \cup [2.5, +\infty)$.

2) $\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} - 5 \ge 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Так как $x \ge 0$, то $t \ge 0$. Тогда $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = t^2$. Неравенство принимает вид:
$t^2 - 4t - 5 \ge 0$

Решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $t^2 - 4t - 5 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.

Парабола $y = t^2 - 4t - 5$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $t^2 - 4t - 5 \ge 0$ выполняется при $t \le -1$ или $t \ge 5$.

Учтем условие $t \ge 0$.
Система $\begin{cases} t \ge 0 \\ t \le -1 \end{cases}$ не имеет решений.
Система $\begin{cases} t \ge 0 \\ t \ge 5 \end{cases}$ дает решение $t \ge 5$.

Вернемся к исходной переменной $x$:
$\sqrt[4]{x} \ge 5$
Возведем обе части неравенства в четвертую степень. Так как обе части неотрицательны, знак неравенства сохранится:
$(\sqrt[4]{x})^4 \ge 5^4$
$x \ge 625$

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x \in [625, +\infty)$.

3) $\sqrt{x+1} + \sqrt{3x+1} \le 8$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ 3x+1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge -1/3 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge -1/3$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x+1} + \sqrt{3x+1}$. Функции $y_1 = \sqrt{x+1}$ и $y_2 = \sqrt{3x+1}$ являются возрастающими на всей области определения. Сумма двух возрастающих функций также является возрастающей функцией. Следовательно, $f(x)$ — возрастающая функция при $x \ge -1/3$.

Найдем значение $x$, при котором левая часть равна правой. Решим уравнение:
$\sqrt{x+1} + \sqrt{3x+1} = 8$
Методом подбора находим корень. Попробуем значения $x$, при которых извлекаются целые корни.
При $x=8$: $\sqrt{8+1} + \sqrt{3 \cdot 8 + 1} = \sqrt{9} + \sqrt{25} = 3 + 5 = 8$.
Значит, $x=8$ является корнем уравнения.

Поскольку функция $f(x)$ возрастающая, а $x=8$ является решением уравнения $f(x)=8$, то неравенство $f(x) \le 8$ будет выполняться для всех $x$, которые не превосходят 8, то есть $x \le 8$.

Теперь объединим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x \le 8 \\ x \ge -1/3 \end{cases}$
Решением системы является промежуток $-1/3 \le x \le 8$.

Ответ: $x \in [-1/3, 8]$.

139. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $a\sqrt{x+3} < 1$;

2) $(2-a)\sqrt{1-x} \geq 1$.