Страница 124 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}$;

2) $\frac{10}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt[3]{2}-1} $, необходимо домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. В данном случае мы используем формулу разности кубов: $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $.

Знаменатель дроби представляет собой выражение вида $ a-b $, где $ a = \sqrt[3]{2} $ и $ b = 1 $.

Сопряженным выражением будет неполный квадрат суммы $ a^2+ab+b^2 $, который равен $ (\sqrt[3]{2})^2 + \sqrt[3]{2} \cdot 1 + 1^2 = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1 $.

Выполним умножение:

$ \frac{1}{\sqrt[3]{2}-1} = \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1)}{(\sqrt[3]{2}-1)(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1)} $

В знаменателе получим разность кубов:

$ (\sqrt[3]{2}-1)(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1) = (\sqrt[3]{2})^3 - 1^3 = 2-1=1 $

Таким образом, выражение упрощается до:

$ \frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}{1} = \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1 $

Ответ: $ \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1 $.

2) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{10}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1} $, мы также воспользуемся формулой разности кубов: $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $.

Заметим, что знаменатель можно представить в виде $ (\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} \cdot 1 + 1^2 $. Это неполный квадрат суммы, то есть выражение вида $ a^2+ab+b^2 $, где $ a = \sqrt[3]{3} $ и $ b = 1 $.

Чтобы получить в знаменателе разность кубов, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ a-b $, которое равно $ \sqrt[3]{3}-1 $.

Выполним умножение:

$ \frac{10}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1} = \frac{10 \cdot (\sqrt[3]{3}-1)}{(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1)(\sqrt[3]{3}-1)} $

В знаменателе получим разность кубов:

$ ((\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} \cdot 1 + 1^2)(\sqrt[3]{3}-1) = (\sqrt[3]{3})^3 - 1^3 = 3-1=2 $

Подставим результат в наше выражение:

$ \frac{10(\sqrt[3]{3}-1)}{2} = 5(\sqrt[3]{3}-1) $

Ответ: $ 5(\sqrt[3]{3}-1) $.

107. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{48x^{16}};$

2) $\sqrt[4]{x^{17}};$

3) $\sqrt[5]{-b^{12}};$

4) $\sqrt[4]{x^{18}y^{7}};$

5) $\sqrt[4]{810a^{26}b^{17}};$

6) $\sqrt[3]{128m^{13}n^{8}};$

7) $\sqrt[4]{-625a^{15}};$

8) $\sqrt[6]{x^{14}y^{17}};$

9) $\sqrt[12]{a^{13}b^{13}}$, если $a \leq 0;

10) $\sqrt[8]{m^{10}n^{9}}$, если $m \leq 0;

11) $\sqrt[4]{x^{23}y^{18}z^{36}}$, если $z < 0;

12) $\sqrt[6]{-m^{49}n^{20}}$, если $n \geq 0$.

1)

Чтобы вынести множитель из-под знака корня $\sqrt{48x^{16}}$, разложим подкоренное выражение на множители. Представим число 48 в виде произведения $16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3$. Степень $x^{16}$ можно записать как $(x^8)^2$.

$\sqrt{48x^{16}} = \sqrt{16 \cdot 3 \cdot x^{16}} = \sqrt{4^2 \cdot (x^8)^2 \cdot 3}$

Используя свойство корня $\sqrt{abc} = \sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}$ и правило извлечения корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, получаем:

$\sqrt{4^2} \cdot \sqrt{(x^8)^2} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot |x^8| \cdot \sqrt{3}$

Поскольку $x^8$ всегда является неотрицательным числом (любое число в четной степени), то $|x^8| = x^8$.

Ответ: $4x^8\sqrt{3}$.

2)

В выражении $\sqrt[4]{x^{17}}$ представим $x^{17}$ в виде произведения $x^{16} \cdot x$. Показатель 16 кратен показателю корня 4.

$\sqrt[4]{x^{17}} = \sqrt[4]{x^{16} \cdot x} = \sqrt[4]{(x^4)^4 \cdot x}$

Выносим множитель из-под знака корня:

$\sqrt[4]{(x^4)^4} \cdot \sqrt[4]{x} = |x^4|\sqrt[4]{x}$

Выражение $x^4$ всегда неотрицательно, поэтому $|x^4| = x^4$. Также следует отметить, что исходное выражение $\sqrt[4]{x^{17}}$ определено только при $x^{17} \ge 0$, то есть при $x \ge 0$.

Ответ: $x^4\sqrt[4]{x}$.

3)

В выражении $\sqrt[5]{-b^{12}}$ показатель корня нечетный, поэтому можно вынести знак "минус":

$\sqrt[5]{-b^{12}} = -\sqrt[5]{b^{12}}$

Представим $b^{12}$ как $b^{10} \cdot b^2$, где показатель 10 кратен 5.

$-\sqrt[5]{b^{12}} = -\sqrt[5]{b^{10} \cdot b^2} = -\sqrt[5]{(b^2)^5 \cdot b^2}$

Поскольку корень нечетной степени, $\sqrt[n]{a^n} = a$, получаем:

$-\sqrt[5]{(b^2)^5} \cdot \sqrt[5]{b^2} = -b^2\sqrt[5]{b^2}$

Ответ: $-b^2\sqrt[5]{b^2}$.

4)

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{x^{18}y^7}$. Так как корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^{18}y^7 \ge 0$. Поскольку $x^{18} \ge 0$ для любого $x$, это условие выполняется при $y^7 \ge 0$, то есть $y \ge 0$.

Разложим степени на множители с показателями, кратными 4: $x^{18} = x^{16} \cdot x^2 = (x^4)^4 \cdot x^2$ $y^7 = y^4 \cdot y^3$

$\sqrt[4]{x^{18}y^7} = \sqrt[4]{x^{16} \cdot x^2 \cdot y^4 \cdot y^3} = \sqrt[4]{(x^4)^4 \cdot y^4 \cdot x^2y^3}$

Выносим множители:

$\sqrt[4]{(x^4)^4} \cdot \sqrt[4]{y^4} \cdot \sqrt[4]{x^2y^3} = |x^4| \cdot |y| \cdot \sqrt[4]{x^2y^3}$

Так как $x^4 \ge 0$, то $|x^4| = x^4$. Поскольку мы установили, что $y \ge 0$, то $|y| = y$.

Ответ: $x^4y\sqrt[4]{x^2y^3}$.

5)

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{810a^{26}b^{17}}$. Условие существования корня: $810a^{26}b^{17} \ge 0$. Так как $a^{26} \ge 0$, то $b^{17} \ge 0$, что означает $b \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение на множители: $810 = 81 \cdot 10 = 3^4 \cdot 10$ $a^{26} = a^{24} \cdot a^2 = (a^6)^4 \cdot a^2$ $b^{17} = b^{16} \cdot b = (b^4)^4 \cdot b$

$\sqrt[4]{810a^{26}b^{17}} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 10 \cdot (a^6)^4 \cdot a^2 \cdot (b^4)^4 \cdot b} = \sqrt[4]{3^4(a^6)^4(b^4)^4 \cdot 10a^2b}$

Выносим множители:

$|3| \cdot |a^6| \cdot |b^4| \cdot \sqrt[4]{10a^2b} = 3a^6b^4\sqrt[4]{10a^2b}$ (поскольку $a^6 \ge 0$ и $b^4 \ge 0$)

Ответ: $3a^6b^4\sqrt[4]{10a^2b}$.

6)

В выражении $\sqrt[3]{128m^{13}n^8}$ корень нечетной степени, поэтому выражение определено для любых $m$ и $n$.

Разложим подкоренное выражение: $128 = 64 \cdot 2 = 4^3 \cdot 2$ $m^{13} = m^{12} \cdot m = (m^4)^3 \cdot m$ $n^8 = n^6 \cdot n^2 = (n^2)^3 \cdot n^2$

$\sqrt[3]{128m^{13}n^8} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 2 \cdot (m^4)^3 \cdot m \cdot (n^2)^3 \cdot n^2} = \sqrt[3]{4^3(m^4)^3(n^2)^3 \cdot 2mn^2}$

Выносим множители (для нечетной степени модуль не нужен):

$4 \cdot m^4 \cdot n^2 \cdot \sqrt[3]{2mn^2}$

Ответ: $4m^4n^2\sqrt[3]{2mn^2}$.

7)

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{-625a^{15}}$. Так как корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-625a^{15} \ge 0$. Это означает, что $a^{15} \le 0$, и, следовательно, $a \le 0$.

Разложим подкоренное выражение. Учитывая, что $a \le 0$, имеем $-a \ge 0$. $-625a^{15} = 625 \cdot (-a^{15}) = 5^4 \cdot (-a) \cdot a^{14} = 5^4 \cdot (-a) \cdot ((-a)^2)^7...$ Удобнее представить $-a^{15}$ как $(-a)^{15}$. Действительно, $(-a)^{15} = (-1)^{15}a^{15} = -a^{15}$.

$\sqrt[4]{-625a^{15}} = \sqrt[4]{625 \cdot (-a^{15})} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (-a)^{15}} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (-a)^{12} \cdot (-a)^3} = \sqrt[4]{5^4 \cdot ((-a)^3)^4 \cdot (-a)^3}$

Выносим множители:

$|5| \cdot |(-a)^3| \cdot \sqrt[4]{(-a)^3}$

Так как $a \le 0$, то $-a \ge 0$, и $(-a)^3 \ge 0$. Поэтому $|(-a)^3| = (-a)^3 = -a^3$.

$5(-a^3)\sqrt[4]{-a^3} = -5a^3\sqrt[4]{-a^3}$

Ответ: $-5a^3\sqrt[4]{-a^3}$.

8)

Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{x^{14}y^{17}}$. Условие существования корня: $x^{14}y^{17} \ge 0$. Так как $x^{14} \ge 0$, то $y^{17} \ge 0$, что означает $y \ge 0$.

Разложим степени на множители с показателями, кратными 6: $x^{14} = x^{12} \cdot x^2 = (x^2)^6 \cdot x^2$ $y^{17} = y^{12} \cdot y^5 = (y^2)^6 \cdot y^5$

$\sqrt[6]{x^{14}y^{17}} = \sqrt[6]{(x^2)^6 \cdot x^2 \cdot (y^2)^6 \cdot y^5} = \sqrt[6]{(x^2)^6(y^2)^6 \cdot x^2y^5}$

Выносим множители:

$|x^2| \cdot |y^2| \cdot \sqrt[6]{x^2y^5} = x^2y^2\sqrt[6]{x^2y^5}$ (поскольку $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$)

Ответ: $x^2y^2\sqrt[6]{x^2y^5}$.

9)

Рассмотрим выражение $\sqrt[12]{a^{13}b^{13}}$, если $a \le 0$. Условие существования корня: $a^{13}b^{13} \ge 0$, или $(ab)^{13} \ge 0$, что означает $ab \ge 0$.

Поскольку дано $a \le 0$ и мы вывели $ab \ge 0$, то должно выполняться и $b \le 0$.

Преобразуем выражение:

$\sqrt[12]{a^{13}b^{13}} = \sqrt[12]{a^{12} \cdot a \cdot b^{12} \cdot b} = \sqrt[12]{a^{12}b^{12} \cdot ab}$

Выносим множители:

$\sqrt[12]{a^{12}} \cdot \sqrt[12]{b^{12}} \cdot \sqrt[12]{ab} = |a| \cdot |b| \cdot \sqrt[12]{ab}$

Используя условия $a \le 0$ и $b \le 0$, раскрываем модули: $|a| = -a$, $|b| = -b$.

$(-a)(-b)\sqrt[12]{ab} = ab\sqrt[12]{ab}$

Ответ: $ab\sqrt[12]{ab}$.

10)

Рассмотрим выражение $\sqrt[8]{m^{10}n^9}$, если $m \le 0$. Условие существования корня: $m^{10}n^9 \ge 0$. Так как $m^{10} \ge 0$, то $n^9 \ge 0$, что означает $n \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение: $m^{10} = m^8 \cdot m^2$ $n^9 = n^8 \cdot n$

$\sqrt[8]{m^{10}n^9} = \sqrt[8]{m^8 \cdot m^2 \cdot n^8 \cdot n} = \sqrt[8]{m^8n^8 \cdot m^2n}$

Выносим множители:

$\sqrt[8]{m^8} \cdot \sqrt[8]{n^8} \cdot \sqrt[8]{m^2n} = |m| \cdot |n| \cdot \sqrt[8]{m^2n}$

Используя условие $m \le 0$ и выведенное $n \ge 0$, раскрываем модули: $|m| = -m$, $|n| = n$.

$(-m)(n)\sqrt[8]{m^2n} = -mn\sqrt[8]{m^2n}$

Ответ: $-mn\sqrt[8]{m^2n}$.

11)

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{x^{23}y^{18}z^{36}}$, если $z < 0$. Условие существования корня: $x^{23}y^{18}z^{36} \ge 0$. Так как $y^{18} \ge 0$ и $z^{36} \ge 0$, то $x^{23} \ge 0$, что означает $x \ge 0$.

Разложим степени на множители с показателями, кратными 4: $x^{23} = x^{20} \cdot x^3 = (x^5)^4 \cdot x^3$ $y^{18} = y^{16} \cdot y^2 = (y^4)^4 \cdot y^2$ $z^{36} = (z^9)^4$

$\sqrt[4]{x^{23}y^{18}z^{36}} = \sqrt[4]{(x^5)^4(y^4)^4(z^9)^4 \cdot x^3y^2}$

Выносим множители:

$|x^5| \cdot |y^4| \cdot |z^9| \cdot \sqrt[4]{x^3y^2}$

Раскрываем модули: - Так как $x \ge 0$, то $x^5 \ge 0$, и $|x^5| = x^5$. - Так как $y^4 \ge 0$ для любого $y$, то $|y^4| = y^4$. - Так как $z < 0$, то $z^9 < 0$, и $|z^9| = -z^9$.

$(x^5)(y^4)(-z^9)\sqrt[4]{x^3y^2} = -x^5y^4z^9\sqrt[4]{x^3y^2}$

Ответ: $-x^5y^4z^9\sqrt[4]{x^3y^2}$.

12)

Рассмотрим выражение $\sqrt[6]{-m^{49}n^{20}}$, если $n \ge 0$. Условие существования корня: $-m^{49}n^{20} \ge 0$. Так как $n \ge 0$, то $n^{20} \ge 0$. Следовательно, $-m^{49} \ge 0$, что означает $m^{49} \le 0$, и, следовательно, $m \le 0$.

Разложим подкоренное выражение. Учитывая, что $m \le 0$, множитель $(-m)$ будет неотрицательным. $-m^{49}n^{20} = (-m) \cdot m^{48} \cdot n^{20}$ $m^{48} = (m^8)^6$ $n^{20} = n^{18} \cdot n^2 = (n^3)^6 \cdot n^2$

$\sqrt[6]{-m^{49}n^{20}} = \sqrt[6]{m^{48}n^{18} \cdot (-m)n^2} = \sqrt[6]{(m^8)^6 (n^3)^6 \cdot (-mn^2)}$

Выносим множители:

$|m^8| \cdot |n^3| \cdot \sqrt[6]{-mn^2}$

Раскрываем модули: - Так как $m^8 \ge 0$ для любого $m$, то $|m^8| = m^8$. - Так как $n \ge 0$, то $n^3 \ge 0$, и $|n^3| = n^3$.

$m^8n^3\sqrt[6]{-mn^2}$

Ответ: $m^8n^3\sqrt[6]{-mn^2}$.

108. Внесите множитель под знак корня:

1) $a\sqrt{7}$;

2) $a\sqrt{-a}$;

3) $a\sqrt[4]{a^3}$;

4) $2x\sqrt[3]{3x^2}$;

5) $b\sqrt[7]{4b}$;

6) $3x^2\sqrt[3]{\frac{1}{9x^2}};$

7) $m\sqrt[6]{m^4}$, если $m \le 0$;

8) $ab\sqrt[4]{a^2b}$, если $a > 0$;

9) $a^5b^3\sqrt[8]{a^6b^{10}}$, если $a < 0, b > 0$.

1) $a\sqrt{7}$
Поскольку корень квадратный (четной степени), результат зависит от знака множителя $a$.
При $a \ge 0$: $a\sqrt{7} = \sqrt{a^2 \cdot 7} = \sqrt{7a^2}$.
При $a < 0$: $a\sqrt{7} = -(-a)\sqrt{7} = -\sqrt{(-a)^2 \cdot 7} = -\sqrt{a^2 \cdot 7} = -\sqrt{7a^2}$.
Ответ: $\sqrt{7a^2}$ при $a \ge 0$; $-\sqrt{7a^2}$ при $a < 0$.

2) $a\sqrt{-a}$
Выражение определено при $-a \ge 0$, то есть $a \le 0$. Так как множитель $a$ неположительный, а корень четной степени, при внесении множителя под корень перед ним ставится знак минус:
$a\sqrt{-a} = -(-a)\sqrt{-a} = -\sqrt{(-a)^2(-a)} = -\sqrt{a^2(-a)} = -\sqrt{-a^3}$.
Ответ: $-\sqrt{-a^3}$.

3) $a\sqrt[4]{a^3}$
Подкоренное выражение $a^3$ должно быть неотрицательным, что выполняется при $a \ge 0$. Множитель $a$ также неотрицателен. Вносим его под корень четной степени ($n=4$), возводя в эту степень:
$a\sqrt[4]{a^3} = \sqrt[4]{a^4 \cdot a^3} = \sqrt[4]{a^{4+3}} = \sqrt[4]{a^7}$.
Ответ: $\sqrt[4]{a^7}$.

4) $2x\sqrt[3]{3x^2}$
Степень корня $n=3$ нечетная, поэтому множитель $2x$ вносится под знак корня возведением в куб независимо от его знака:
$2x\sqrt[3]{3x^2} = \sqrt[3]{(2x)^3 \cdot 3x^2} = \sqrt[3]{8x^3 \cdot 3x^2} = \sqrt[3]{24x^{3+2}} = \sqrt[3]{24x^5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{24x^5}$.

5) $b\sqrt[7]{4b}$
Степень корня $n=7$ нечетная, поэтому множитель $b$ вносится под знак корня возведением в 7-ю степень:
$b\sqrt[7]{4b} = \sqrt[7]{b^7 \cdot 4b} = \sqrt[7]{4b^{7+1}} = \sqrt[7]{4b^8}$.
Ответ: $\sqrt[7]{4b^8}$.

6) $3x^2\sqrt[3]{\frac{1}{9x^2}}$
Степень корня $n=3$ нечетная. Множитель $3x^2$ вносим под корень, возведя в куб. Выражение определено при $x \ne 0$.
$3x^2\sqrt[3]{\frac{1}{9x^2}} = \sqrt[3]{(3x^2)^3 \cdot \frac{1}{9x^2}} = \sqrt[3]{27x^6 \cdot \frac{1}{9x^2}} = \sqrt[3]{\frac{27x^6}{9x^2}} = \sqrt[3]{3x^4}$.
Ответ: $\sqrt[3]{3x^4}$.

7) $m\sqrt[6]{m^4}$, если $m \le 0$
Степень корня $n=6$ четная, а множитель по условию $m \le 0$. При внесении отрицательного множителя под корень четной степени перед корнем ставится знак минус:
$m\sqrt[6]{m^4} = -(-m)\sqrt[6]{m^4} = -\sqrt[6]{(-m)^6 \cdot m^4} = -\sqrt[6]{m^6 \cdot m^4} = -\sqrt[6]{m^{10}}$.
Ответ: $-\sqrt[6]{m^{10}}$.

8) $ab\sqrt[4]{a^2b}$, если $a > 0$
Подкоренное выражение $a^2b \ge 0$. Так как по условию $a > 0$, то $a^2 > 0$, откуда следует, что $b \ge 0$.
Множитель $ab$ является произведением положительного ($a>0$) и неотрицательного ($b \ge 0$) чисел, следовательно, $ab \ge 0$.
Вносим неотрицательный множитель под корень четной степени ($n=4$):
$ab\sqrt[4]{a^2b} = \sqrt[4]{(ab)^4 \cdot a^2b} = \sqrt[4]{a^4b^4 \cdot a^2b} = \sqrt[4]{a^{4+2}b^{4+1}} = \sqrt[4]{a^6b^5}$.
Ответ: $\sqrt[4]{a^6b^5}$.

9) $a^5b^3\sqrt[8]{a^6b^{10}}$, если $a < 0, b > 0$
Степень корня $n=8$ четная. Определим знак множителя $a^5b^3$.
Так как $a < 0$, то $a^5 < 0$. Так как $b > 0$, то $b^3 > 0$.
Произведение $a^5b^3$ отрицательно. При внесении отрицательного множителя под корень четной степени перед корнем ставится знак минус:
$a^5b^3\sqrt[8]{a^6b^{10}} = -( -(a^5b^3) )\sqrt[8]{a^6b^{10}} = -\sqrt[8]{(-(a^5b^3))^8 \cdot a^6b^{10}}$.
Вычисляем степень множителя: $(-(a^5b^3))^8 = a^{40}b^{24}$.
Подставляем обратно: $-\sqrt[8]{a^{40}b^{24} \cdot a^6b^{10}} = -\sqrt[8]{a^{40+6}b^{24+10}} = -\sqrt[8]{a^{46}b^{34}}$.
Ответ: $-\sqrt[8]{a^{46}b^{34}}$.

109. Упростите выражение:

1) $(\sqrt[3]{a} + 2)(\sqrt[3]{a} - 2) - (\sqrt[3]{a} + 3)^2;$

2) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} - \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{a} + 1};$

3) $\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[6]{ab} - \sqrt[3]{b}} - \frac{2\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}};$

4) $\left(\frac{\sqrt[4]{a} - 2}{\sqrt[4]{a} + 2} - \frac{\sqrt[4]{a} + 2}{\sqrt[4]{a} - 2}\right) : \frac{12\sqrt{a}}{4 - \sqrt{a}};$

5) $\frac{3\sqrt[8]{a}}{\sqrt[8]{a} - 4} - \frac{\sqrt[8]{a} + 2}{2\sqrt[8]{a} - 8} \cdot \frac{96}{\sqrt[4]{a} + 2\sqrt[8]{a}}.$

1) $(\sqrt[3]{a} + 2)(\sqrt[3]{a} - 2) - (\sqrt[3]{a} + 3)^2$

Для первого произведения применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$, а для второго слагаемого — формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

Первый член: $(\sqrt[3]{a} + 2)(\sqrt[3]{a} - 2) = (\sqrt[3]{a})^2 - 2^2 = \sqrt[3]{a^2} - 4$.

Второй член: $(\sqrt[3]{a} + 3)^2 = (\sqrt[3]{a})^2 + 2 \cdot \sqrt[3]{a} \cdot 3 + 3^2 = \sqrt[3]{a^2} + 6\sqrt[3]{a} + 9$.

Теперь вычтем второе из первого:

$(\sqrt[3]{a^2} - 4) - (\sqrt[3]{a^2} + 6\sqrt[3]{a} + 9) = \sqrt[3]{a^2} - 4 - \sqrt[3]{a^2} - 6\sqrt[3]{a} - 9$.

Приводим подобные слагаемые:

$(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a^2}) - 6\sqrt[3]{a} - 4 - 9 = -6\sqrt[3]{a} - 13$.

Ответ: $-6\sqrt[3]{a} - 13$.

2) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{a}+1}$

Заметим, что $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$. Сделаем замену $x = \sqrt[4]{a}$, тогда выражение примет вид:

$\frac{x^2}{x^2-1} - \frac{x}{x+1}$.

Знаменатель первой дроби $x^2-1$ является разностью квадратов, поэтому $x^2-1=(x-1)(x+1)$.

$\frac{x^2}{(x-1)(x+1)} - \frac{x}{x+1}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$:

$\frac{x^2}{(x-1)(x+1)} - \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 - (x^2-x)}{(x-1)(x+1)}$.

Упростим числитель:

$\frac{x^2 - x^2 + x}{(x-1)(x+1)} = \frac{x}{x^2-1}$.

Выполним обратную замену $x = \sqrt[4]{a}$:

$\frac{\sqrt[4]{a}}{(\sqrt[4]{a})^2-1} = \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}-1}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt{a}-1}$.

3) $\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[6]{ab} - \sqrt[3]{b}} - \frac{2\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}$

Приведем все корни к показателю 6. Пусть $u = \sqrt[6]{a}$ и $v = \sqrt[6]{b}$. Тогда $\sqrt[3]{a} = u^2$, $\sqrt[3]{b} = v^2$ и $\sqrt[6]{ab}=uv$.

Подставим в выражение:

$\frac{u^2+v^2}{uv - v^2} - \frac{2u}{u-v}$.

Вынесем $v$ за скобки в знаменателе первой дроби:

$\frac{u^2+v^2}{v(u-v)} - \frac{2u}{u-v}$.

Приведем к общему знаменателю $v(u-v)$:

$\frac{u^2+v^2 - 2u \cdot v}{v(u-v)} = \frac{u^2-2uv+v^2}{v(u-v)}$.

Числитель является полным квадратом разности $(u-v)^2$:

$\frac{(u-v)^2}{v(u-v)}$.

Сократим дробь на $(u-v)$:

$\frac{u-v}{v} = \frac{u}{v} - 1$.

Сделаем обратную замену:

$\frac{\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{b}} - 1 = \sqrt[6]{\frac{a}{b}} - 1$.

Ответ: $\sqrt[6]{\frac{a}{b}} - 1$.

4) $(\frac{\sqrt[4]{a}-2}{\sqrt[4]{a}+2} - \frac{\sqrt[4]{a}+2}{\sqrt[4]{a}-2}) : \frac{12\sqrt{a}}{4-\sqrt{a}}$

Упростим выражение в скобках. Пусть $x = \sqrt[4]{a}$.

$\frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} = \frac{(x-2)^2 - (x+2)^2}{(x+2)(x-2)}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(x^2-4x+4) - (x^2+4x+4)}{x^2-4} = \frac{-8x}{x^2-4}$.

Теперь преобразуем делитель, учитывая, что $\sqrt{a}=x^2$:

$\frac{12\sqrt{a}}{4-\sqrt{a}} = \frac{12x^2}{4-x^2}$.

Выполним деление:

$\frac{-8x}{x^2-4} : \frac{12x^2}{4-x^2} = \frac{-8x}{x^2-4} \cdot \frac{4-x^2}{12x^2}$.

Так как $4-x^2 = -(x^2-4)$, получим:

$\frac{-8x}{x^2-4} \cdot \frac{-(x^2-4)}{12x^2} = \frac{8x(x^2-4)}{12x^2(x^2-4)}$.

Сократим дробь на $4x$ и $(x^2-4)$:

$\frac{2}{3x}$.

Выполним обратную замену $x=\sqrt[4]{a}$:

$\frac{2}{3\sqrt[4]{a}}$.

Ответ: $\frac{2}{3\sqrt[4]{a}}$.

5) $\frac{3\sqrt[8]{a}}{\sqrt[8]{a}-4} - \frac{\sqrt[8]{a}+2}{2\sqrt[8]{a}-8} \cdot \frac{96}{\sqrt[4]{a}+2\sqrt[8]{a}}$

Пусть $x = \sqrt[8]{a}$, тогда $\sqrt[4]{a}=x^2$. Выражение примет вид:

$\frac{3x}{x-4} - \frac{x+2}{2x-8} \cdot \frac{96}{x^2+2x}$.

Сначала выполним умножение. Разложим знаменатели на множители:

$\frac{x+2}{2(x-4)} \cdot \frac{96}{x(x+2)}$.

Сократим на $(x+2)$ и на 2:

$\frac{1}{2(x-4)} \cdot \frac{96}{x} = \frac{48}{x(x-4)}$.

Теперь выполним вычитание:

$\frac{3x}{x-4} - \frac{48}{x(x-4)}$.

Приведем к общему знаменателю $x(x-4)$:

$\frac{3x \cdot x - 48}{x(x-4)} = \frac{3x^2-48}{x(x-4)}$.

Вынесем 3 за скобки в числителе и разложим разность квадратов:

$\frac{3(x^2-16)}{x(x-4)} = \frac{3(x-4)(x+4)}{x(x-4)}$.

Сократим дробь на $(x-4)$:

$\frac{3(x+4)}{x}$.

Выполним обратную замену $x=\sqrt[8]{a}$:

$\frac{3(\sqrt[8]{a}+4)}{\sqrt[8]{a}}$.

Ответ: $\frac{3(\sqrt[8]{a}+4)}{\sqrt[8]{a}}$.